Câu 10: Trang 114 - SGK Hình học 11
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng \(a\). Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \( ABCD\).
a) Tính độ dài đoạn thẳng \(SO\).
b) Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn \(SC\). Chứng minh hai mặt phẳng \((MBD)\) và \((SAC)\) vuông góc với nhau.
c) Tính độ dài đoạn \(OM\) và tính góc giữa hai mặt phẳng \((MBD)\) và \((ABCD)\).
Bài Làm:
a) $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$
=> tam giác ABC vuông tại B
=> $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$
- Lại có $O$ là tâm hình vuông $ABCD(gt)$ nên $O$ là trung điểm của $AC$
=> $OA=\frac{1}{2}.AC=a.\frac{\sqrt{2}}{2}$
- Hình chóp tứ giác đều nên \(SO\bot (ABCD)\). Do đó \(SO\bot AC\)
Xét tam giác \(SOA\) vuông tại \(O\): có $SA^2=OA^2+SO^2$ (định lý Pitago)
=> \(SO = \sqrt{SA^{2}-AO^{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\)
b) \(BD\bot AC\) (tính chất hình vuông) (1)
Vì $SO\perp (ABCD), BD\subset (ABCD)=>SO\perp BD$ (2)
Từ (1)(2) và $AC \cap SO$ suy ra: \(BD \bot (SAC)\),
Mà \(BD ⊂ (MBD)\) do đó \((MBD) ⊥ (SAC)(đpcm)\).
c) $\Delta SCD$ và $\Delta SCB$ có:
$SC$ chung
$SD=SB(=a);CD=CB(=a)$
=> $\Delta SCD\sim \Delta SCB(c.c.c)$
=> $DM=BM$ (trung tuyến tương ứng của 2 tam giác bằng nhau)
suy ra \(DM=BM\) suy ra tam giác \(BDM\) cân tại \(M\)
=> \(OM\) vừa là trung tuyến đồng thời là đường cao nên \(OM\bot BD\)
Ta có:
\(\left. \matrix{
(MBD) \cap (ABCD) = BD \hfill \cr
OM \bot BD \hfill \cr
OC \bot BD \hfill \cr} \right\} \)
$\Rightarrow $ góc giữa hai mặt phẳng \((MBD)\) và \((ABCD)\) là \(\widehat {MOC}\)
Trong $\Delta SOC$ vuông tại O có $OM$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $SC$
suy ra: \(OM=MC=\frac{SC}{2}=\frac{a}{2}\) hay Tam giác \(OMC\) vuông cân tại \(M\)
suy ra: \((\widehat{(MBD);(ABCD)})=(\widehat{MOC})=45^{0}.\)