5. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Gọi E là điểm đối xứng với B qua H. Đường tròn đường kính EC cắt AC tại K (hình 5.7).
Chứng minh rằng:
a, Tứ giác AKEB là hình thang vuông.
b, Tam giác AHK cân,
c, HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính EC.
Bài Làm:
a, Gọi O là tâm đường tròn đường kính EC => OK = OC = OE (bán kính của đường tròn)
+ Xét tam giác EKC có:
- KO là trung tuyến ứng với cạnh EC (OE = OC)
- KO = $\frac{1}{2}$EC
=> Tam giác EKC vuông tại K (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông)
=> EK $\perp $ KC hay EK $\perp $ AC
+ EK $\perp $ AC và BA $\perp $ AC => EK // BA
+ Tứ giác AKEB có EK // BA => AKEB là hình thang
+ Hình thang AKEB có $\widehat{BAK}=90^{0}$
=> AKEB là hình thang vuông
b, Trên AK lấy I là trung điểm của AK => HI là đường trung bình của hình thang vuông AKEB
=> HI $\perp $ AK
+ Xét tam giác AHI và KHI có:
- Chung cạnh HI
- AK = KI
- $\widehat{AIH}=\widehat{KIH}=90^{0}$
=> $\Delta $AHI = $\Delta $KHI (c.g.c)
=> AH = KH
+ Xét tam giác AHK có AH = KH
=> Tam giác AHK cân tại H
c, $\widehat{HAK}=\widehat{AKH}$ (Tam giác AHK cân tại H)
Tam giác OKE cân tại O (OK = OE) => $\widehat{KEC}=\widehat{EKO}$
+ $\widehat{HAK}+\widehat{KCE}= 90^{0}$ (vì $\widehat{AHC}=90^{0}$)
+ $\widehat{KCE}+\widehat{KEC}= 90^{0}$ (Tam giác EKC vuông tại K)
=> $\widehat{HAK}=\widehat{KEC}$
=> $\widehat{HKA}=\widehat{KEC}$ (= $\widehat{HAK}$)
=> $\widehat{HKA}=\widehat{EKO}$ (= $\widehat{KEC}$)
+ Ta có: $\widehat{HKA}+\widehat{EKH}=\widehat{EKA}=90^{0}$ (Vì $\widehat{EKA}=90^{0}$)
=> $\widehat{EKO}+\widehat{EKH}=90^{0}$ (Vì $\widehat{HKA}=\widehat{EKO}$)
<=> $\widehat{HKO}=90^{0}$ => OK $\perp $ HK
+ Xét đường tròn tâm O và đường thẳng HK có:
- K là điểm chung duy nhất
- Bán kính OK $\perp $ HK
=> HK là tiếp tuyến của đường tròn O tại K
