4. Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường cao AD, BE của tam giác cắt nhau tại H. Gọi O là trung điểm của AH (hình 5.6).
a, Chứng minh rằng điểm E nằm trên đường tròn tâm O đường kính AH.
b, Gọi F là giao điểm của đường tròn O với cạnh AB. Chứng minh ba điểm C, H, F thẳng hàng.
c, Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến của đường tròn O.
Bài Làm:
a, Xét tam giác AEH vuông tại E có AH là cạnh huyền
O là trung điểm của AH => EO là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông AEH
=> EO = $\frac{1}{2}$AH
=> OE cũng là một bán kính của đường tròn tâm O đường kính AH hay E nằm trên đường tròn tâm O đường kính AH.
b, F thuộc đường tròn tâm O => OF là bán kính của đường tròn => OF = $\frac{1}{2}$AH
Xét tam giác AHF có:
- FO là trung tuyến ứng với cạnh AH (O là trung điểm của AH)
- OF = $\frac{1}{2}$AH
=> Tam giác AHF vuông tại F (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông)
=> HF $\perp $ AF hay HF $\perp $ AB
- H là giao điểm các đường cao của tam giác ABC => đường thẳng CH là đường cao của tam giác ABC
=> CH $\perp $ AB
- HF $\perp $ AB và CH $\perp $ AB => Ba điểm C, H, F thẳng hàng
c, Tam giác ABC cân tại A, AD là đường cao => AD cũng là đường trung tuyến => BD = DC
- Xét tam giác BEC vuông tại E có ED là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC
=> ED = $\frac{1}{2}$BC = CD
- Xét tam giác DEC có DE = DC
=> Tam giác DEC cân tại D => $\widehat{CED}$ = $\widehat{ECD}$
- Tam giác OAE cân tai O (OA = OE)
=> $\widehat{EAO}$ = $\widehat{OEA}$
- Ta có: $\widehat{HEO}$ + $\widehat{OEA}$ = 90$^{0}$ (vì $\widehat{BEA}$ = 90$^{0}$)
=> $\widehat{HEO}$ + $\widehat{EAO}$ = 90$^{0}$ ($\widehat{EAO}$ = $\widehat{OEA}$) (1)
Mà $\widehat{EAO}$ + $\widehat{ECD}$ = 90$^{0}$ (vì $\widehat{ADC}$ = 90$^{0}$)
=> $\widehat{HEO}$ = $\widehat{ECD}$
=> $\widehat{HEO}$ = $\widehat{CED}$ (= $\widehat{ECD}$)
- $\widehat{CED}$ + $\widehat{DEH}$ = 90$^{0}$ (vì $\widehat{CEH}$ = 90$^{0}$)
=> $\widehat{HEO}$ + $\widehat{DEH}$ = 90$^{0}$ ($\widehat{HEO}$ = $\widehat{CED}$)
<=> $\widehat{DEO}$ = 90$^{0}$ => DE $\perp $ OE
+ Xét đường tròn tâm O bán kính OE và đường thẳng DE có:
- E là điểm chung duy nhất;
- DE $\perp $ OE
=> DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E
