3. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn tâm B bán kính BA và đường tròn tâm C bán kính CA cắt nhau tại D (khác A) (hình 5.5).
a, Chứng minh rằng BC là đường trung trực của AD.
b, Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm B và AB là tiếp tuyến của đường tròn tâm C.
Bài Làm:
a, Xét tam giác ABC và tam giác DBC có:
- BC chung
- AB = DB (= bán kính của đường tròn tâm B)
- AC = DC (= bán kính của đường tròn tâm C)
=> $\Delta $ABC = $\Delta $DBC (c.c.c)
=> $\widehat{ABC}$ = $\widehat{DBC}$
$\widehat{BAC}$ = $\widehat{BDC}$ = 90$^{0}$ (vì tam giác ABC vuông tại A)
- Xét tam giác ABD cân tại B có $\widehat{ABC}$ = $\widehat{DBC}$
=> BC là phân giác của góc $\widehat{ABD}$
=> BC cũng là đường trung trực ứng với cạnh AD của tam giác ABD
=> BC là trung trực của AD.
b, Xét đường tròn tâm C và đoạn thẳng AB có:
- A là điểm chung duy nhất
- CA vuông góc với bán kính BA lại A
=> AB là tiếp tuyến của đường tròn tâm C.
$\widehat{BDC}$ = 90$^{0}$ => BD $\perp $ CD
Xét đường tròn tâm B và đoạn thẳng CD có:
- D là điểm chung duy nhất
- CD vuông góc với bán kính BD tại D
=> CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm B.
