Bài 4: (3,5 điểm)
Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E. Lấy I thuộc cạnh AB, M thuộc cạnh BC sao cho: $\widehat{IEM}=90^{0}$ (I và M không trùng với các đỉnh của hình vuông).
a. Chứng minh rằng BIEM là tứ giác nội tiếp đường tròn
b. Tính số đo của góc $\widehat{IME}$
c. Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC; K là giao điểm của BN và tia EM. Chứng minh $CK\perp BN$.
Bài Làm:
Hình vẽ:
a. Tứ giác BIEM có: $\widehat{IBM}=\widehat{IEM}=90^{0}$ (gt); suy ra tứ giác BIEM nội tiếp đường tròn đường kính IM.
b. Tứ giác BIEM nội tiếp suy ra: $\widehat{IME}=\widehat{IBE}=45^{0}$ (do ABCD là hình vuông)
c. $\Delta EBI$ và $\Delta ECM$ có:
$\widehat{IBE}=\widehat{MCE}=45^{0}$
$BE = CE$
$\widehat{BEI}=\widehat{CEM}$
$\widehat{IEM}=\widehat{BEC}=90^{0}$
$\Rightarrow \Delta EBI=\Delta ECM (g.c.g)\Rightarrow MC =IB$, suy ra $MB = IA$
Vì: CN// BA nên theo định lí thalet, ta có:
$\frac{MA}{MN}=\frac{MB}{MC}=\frac{IA}{IB}$ Suy ra IM song song với BN (định lí thalet đảo).
$\Rightarrow \widehat{BKE}=\widehat{IME}=45^{0} (2)$. Lại có $\widehat{BCE}=45^{0}$ (do ABCD là hình vuông).
Suy ra: $\widehat{BKE}=\widehat{BCE}\Rightarrow BKCE$ là tứ giác nội tiếp.
Suy ra: $\widehat{BKC}+\widehat{BEC}=180^{2}$ mà $\widehat{BEC}=90^{0}$, suy ra $\widehat{BKC}=90^{2}$ hay $CK\perp BN$.