Bài 4: (3,5 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I (I nằm giữa A và O). Lấy điểm E trên cung nhỏ BC (E khác B và C), AE cắt CD tại F. Chứng minh:
a. BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn
b. $AE. AF=AC^{2}$
c. Khi E chạy trên cung nhỏ BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF luôn thuộc một đường thẳng cố định
Bài Làm:
a. Tứ giác BEFI có: BIF=$90^{0}$ (gt)
BEF = BEA = $90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Suy ra tứ giác BEFI nội tiếp đường tròn đường kính BF.
b. Vì $AB\perp CD$ nên AC = AD, suy ra ACF = AEC
Xét $\Delta ACF$ và $\Delta AEC$ có góc A chung và ACF = AEC.
Suy ra: $\Delta ACF\sim \Delta AEC\Rightarrow \frac{AC}{AF}=\frac{AE}{AC}$
$\Rightarrow AE.AF=AC^{2}$
c. Theo câu (b) ta có ACF = AEC, suy ra AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\Delta CEF$ (1)
Mặt khác ACB = $90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra $AC\perp CB(2)$.
Từ (1) và (2) suy ra CB chứa đường kính của đường tròn ngoại tiếp $\Delta CEF$, mà CB cố định nên tâm của đường tròn ngoại tiếp $\Delta CEF$ thuộc CB cố định khi E thay đổi trên cung nhỏ BC.