Bài 4: (4,0 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại điểm C cắt các đường thẳng AB và AD theo thứ tự tại M, N. Dựng AH vuông góc với BD tại điểm H, K là giao điểm của hai đường thẳng MN và BD.
a. Chứng minh tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp.
b. Chứng minh AD.AN = AB.AM.
c. Gọi E là trung điểm của MN. Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng.
d. Cho AB = 6cm, AD = 8cm. Tính độ dài đoạn MN.
Bài Làm:
Hình vẽ:
a. Xét tứ giác AHCK ta có: $\widehat{AHK}=\widehat{ACK}=90^{0}$
Mà hai đỉnh H,CH,C kề nhau cùng nhìn cạnh AK dưới góc $90^{0}$
⇒AHCK là tứ giác nội tiếp. (dhnb)
b. Chứng minh AD.AN = AB.AM.
Ta có: $AM//CD\Rightarrow \widehat{AMN}=\widehat{DCN}$(hai góc đồng vị)
$\widehat{DCN}$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung CD.
$\widehat{ABD}$ là góc nội tiếp chắn cung AB.
Mà cung AB bằng cung CD do ABCD là hình chữ nhật.
$\Rightarrow \widehat{ADB}=\widehat{AMN}(=\widehat{DCN})$
Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ANM$ ta có:
$\widehat{A}$ chung
$\widehat{ADB}=\widehat{AMN} (cmt)$
$\Rightarrow \Delta ABD\sim \Delta AMN (g.g)$
$\Rightarrow \frac{AB}{AN}=\frac{AD}{AM}\Rightarrow AB.AM=AD.AN (đpcm)$
c. Ta có E là trung điểm của MN(gt) ⇒ AE = ME = EN tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).
$\Rightarrow \widehat{EAN}=\widehat{ENA}$
$\Rightarrow \widehat{AEM}=\widehat{EAN}+\widehat{ANE}=2\widehat{ENA}$ (góc ngoài của tam giác)
Vì $\Delta ABD\sim \Delta ANM (cmt)\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{ANC}$ (hai góc tương ứng)
Vì ABCD là hình chữ nhật $\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{BDC}$ (hai góc so le trong)
$\Rightarrow \widehat{BDC}=\widehat{ANC}(=\widehat{ABD})$
$\Rightarrow \widehat{HEC}=2\widehat{ANE}=2\widehat{BDC}=2\widehat{ODC}(1)$
Xét $\Delta OCD$ cân tại O ta có: $\widehat{DOC}+\widehat{OCD}+\widehat{ODC}=180^{0}$
$\Leftrightarrow \widehat{DOC}+2.\widehat{ODC}=180^{0}(2)$
$\Rightarrow \widehat{DOC}+\widehat{HEC}=180^{0}$
Từ (1) và (2) => $\widehat{DOC}+\widehat{HEC}=180^{0}$ (cmt)
Xét tứ giác OHEC ta có: $\widehat{DOC}+\widehat{HEC}=180^{2}(cmt)$
⇒OHEC là tứ giác nội tiếp (tổng hai góc đối diện có tổng bằng $180^{0}$).
$\Rightarrow \widehat{OHE}+\widehat{OCE}=180^{2}$
$\Leftrightarrow \widehat{OHE}=180^{2}-90^{2}=90^{2}$
$\Rightarrow OH\perp HE$
Mà $OE\perp AH (gt)$ => A, H, E thẳng hàng.
d. Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác ABC vuông tại A ta có:
$DB^{2}=AB^{2}+AD^{2}=6^{2}+8^{2}=10^{2}\Rightarrow BD=10cm$
Vì $\Delta ABD\sim \Delta ANM (cmt)$
$\Rightarrow \frac{AB}{AN}=\frac{BN}{MN}=\frac{AD}{AM}$
$\Leftrightarrow \frac{6}{AN}=\frac{8}{AM}=\frac{10}{MN}$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}AM=\frac{8MN}{10}=\frac{4}{5}MN& & \\ AN=\frac{6}{10}MN=\frac{3}{5}MN& & \end{matrix}\right.$
Xét tam giác $\Delta DBC$ và $\Delta CMB$ ta có:
$\widehat{DCB}=\widehat{CBM}=90^{2}$
$\widehat{BDC}=\widehat{BCM}$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung BC).
$\Rightarrow \Delta DCB\sim CBM (g-g)$
$\Rightarrow \frac{DC}{BC}=\frac{BC}{BM}\Leftrightarrow \frac{6}{8}=\frac{8}{BM}$
$\Leftrightarrow BM=\frac{32}{3}$ (cm)
$\Rightarrow AM= AB +BM = 6 + \frac{32}{3}=\frac{50}{3} $ (cm)
$\Rightarrow MN=\frac{5}{4}AM=\frac{5}{4}.\frac{50}{3}=\frac{125}{6}$ (cm)
Vậy $MN=\frac{125}{6}$ (cm)