Câu 4: Trang 53 - sgk hình học 11
Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng. Gọi GA, GB, GC, GD lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, CDA, ADB, ACB. Chứng minh rằng AGA, BGB, CGC, DGD đồng qui.
Bài Làm:
Gọi M là trung điểm của CD.
Ta có \( G_{A}\in BM, {G_{B}}\subset AM\). Gọi \( I = A{G_{A}}^{}\) \( \cap B{G_{B}}^{}\).
Dễ thấy \( \frac{M{G_{A}}^{}}{MB}\) = \( \frac{M{G_{B}}^{}}{MA} = \frac{1}{3}\)
=> \({G_{A}}^{}\) \({G_{B}}^{}\) // AB và \( \frac{IA}{I{G_{A}}^{}}\) = \( \frac{AB}{{G_{A}{G_{B}}^{}}^{}}\) = 3
Tương tự, ta có \(C{G_{C}}^{},D{G_{D}}^{}\) cũng cắt \(A{G_{A}}^{}\) tại I', I''
từ đó suy ra \( \frac{I'A}{I'{G_{A}}^{}}\) = 3, \( \frac{I''A}{I''{G_{A}}^{}}\) = 3
=> I ≡ I' ≡ I''
=> $G_{A}, G_{B}, G_{C}, G_{D}$ đồng quy (đpcm)