Bài tập 1 trang 113 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.
a) Chứng minh rằng (ACB') $\parallel $ (A'C'D).
b) Gọi $G_{1}, G_{2}$ lần lượt là giao điểm của BD' với các mặt phẳng (ACB') và (A'C'D). Chứng minh rằng $G_{1}, G_{2}$ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ACB' và A'C'D.
c) Chứng minh rằng $BG_{1} = G_{1}G_{2} = D'G_{2}$.
Bài Làm:
a) Ta có: AD // B'C', AD = B'C' nên ADC'B' là hình bình hành
Suy ra: AB' // DC' nên AB' // (A'C'D) (1)
Ta có: (ACC'A') là hình bình hành nên AC // A'C'. Suy ra: AC // (A'C'D) (2)
Mà AB', AC thuộc (ACB') (3)
(1)(2)(3) suy ra (ACB') // (A'C'D)
b) Gọi O, O' lần lượt là tâm hình bình hành ABCD, A'B'C'D'
Trong (BDD'B'): B'O cắt BD' mà B'O thuộc (ACB'), BD' cắt (ACB') tại $G_{1}$
Suy ra: B'O cắt BD' tại $G_{1}$
Tương tự ta có: DO' cắt BD' tại $G_{2}$
Ta có: $\triangle G_{1}$OB đồng dạng với $\triangle G_{1}$B'D' (do BD // B'D')
Suy ra: $\frac{G_{1}O}{G_{1}B'}=\frac{OB}{B'D'}=\frac{1}{2} $
Nên: $\frac{G_{1}O}{OB'}=\frac{2}{3}$
Do đó: $G_{1}$ là trọng tâm $\triangle $ACB'.
Chứng minh tương tự ta có: $G_{2}$ là trọng tâm $\triangle $A'C'D.
c) Ta có: $\triangle G_{1}$OB đồng dạng với $\triangle G_{1}$B'D'
Suy ra: $\frac{G_{1}B}{G_{1}D'}=\frac{OB}{B'D'}=\frac{1}{2}$
Nên: $G_{1}B=\frac{1}{3}BD'$ (1)
Tương tự ta có: $\frac{G_{2}D'}{G_{2}B}=\frac{OD'}{DB}=\frac{1}{2}$
Nên: $G_{2}D'=\frac{1}{3}DD'$ (2)
(1)(2) suy ra $G_{1}B=G_{1}G_{2}=G_{2}D'$.
