Bài 7 trang 117 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AB (Hình 100).
a) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và B'C'.
b) Tính góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (ABC).
c) Tính số đo của góc nhị diện [B, CC,M).
d) Chứng minh rằng CC’ // (ABB’A’). Tính khoảng cách giữa đường thẳng CC và mặt phẳng (ABB’A’).
e) Chứng minh rằng CM ⊥ (ABB'A’). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CC” và A’M.
g) Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ và thể tích khối chóp A’.MBC.
Bài Làm:
a) BCC'B' là hình chữ nhật => BC // B'C'
=> $(AB, B'C')=(AB,BC)=\widehat{ABC}=60^{\circ}$
b) Có tam giác AA'B vuông tại A => $tan\widehat{AB'A}=\frac{AA'}{AB}=\frac{a}{a}=1 => \widehat{ABA'}=45^{\circ}$
c) Có CC' ⊥ (ABC) => CC' ⊥ BC, CC' ⊥ CM
=> $\widehat{BCM}$ là góc nhị diện [B, CC', M]
Có tam giác ABC đều => $\widehat{BCM}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}=30^{\circ}$
d) Có SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ CM
mà tam giác ABC đều => CM ⊥ AB
=> CM ⊥ (ABB'A')
=> $CMCM=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- Có CC' // (ABB'A')
$=> d (CC', (ABB'A'))= d(C, (ABB'A')) = CM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
e) Có CM ⊥ (ABB'A') => CM ⊥ A'M
=> CC' ⊥ (ABC) => CC' ⊥ CM
=> $d (CC', A'M) = CM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
g) $S_{\Delta ABC}=\frac{AB^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$,
$h=AA'=a$
=> $V_{ABC.A'B'C'}=S_{\Delta ABC}.AA'=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.a=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{4}$
Có $S_{\Delta MBC}=\frac{1}{2}S_{\Delta ABC}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{8}$
=> $V_{A'.MBC}=\frac{1}{3}S_{\Delta MBC}.AA'=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^{2}\sqrt{3}}{8}\cdot a=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{24}$
