4. Chứng minh rằng $\sqrt{7}$ là số vô tỉ.
5. Chứng tỏ rằng: Tổng của một số vô tỉ và một số hữu tỉ là một số vô tỉ.
6. Trong các số sau, số nào là số hữu tỉ, số nào là số vô tỉ?
a) 0,121212...
b) -1,1011110111...
c) $\sqrt{\frac{1}{2}}$
d) $5+\sqrt{7}$
Bài Làm:
4. Giả sử $\sqrt{7}$ là số hữu tỉ. Khi đó $\sqrt{7}$ có thể viết được dưới dạng $\frac{p}{q}(p,q\in Z, (p;q)=1)$. Ta có:
$\sqrt{7}=\frac{p}{q}\Rightarrow \frac{p^{2}}{q^{2}}=7\Rightarrow p^{2}=7q^{2}$
Do đó $p^{2}\vdots 7$ $\Rightarrow $ $p\vdots 7$
Đặt p = 7m ($m\in Z$) thì ta có $p^{2}=49m^{2}=7q^{2}$
$\Rightarrow q^{2}=7m^{2}$
Chứng tỏ $q\vdots 7$
Do đó p và q cùng chia hết cho 7 (trái với giả thuyết)
Do đó $\sqrt{7}$ không phải là số hữu tỉ.
Vậy $\sqrt{7}$ là số vô tỉ.
5. Giả sử tồn tại một số hữu tỉ a và số vô tỉ b sao cho a + b là số hữu tỉ. Ta gọi số hữu tỉ đó là m.
Khi đó a + b = m $\Leftrightarrow $ b = m - a thì b là số hữu tỉ
Trái với giả thiết b là số vô tỉ.
Do đó tổng của một số hữu tỉ và một số vô tỉ là một số vô tỉ.
6.
Các số hữu tỉ: 0,121212... ; -1,1011110111...
Các số vô tỉ: $\sqrt{\frac{1}{2}}$ ; $5+\sqrt{7}$