Giải bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

A. Lí thuyết

1. Phương trình $\sin x =a$

• Trường hợp 1: $|a| >1$ 

Phương trình vô nghiệm vì $|\sin x | \leq 1$

• Trường hợp $|a| \leq 1$

Nếu $a=\sin \alpha$ thì $\sin x=\sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \matrix{x=\alpha +k 2\pi , k \in \mathbb{Z}\hfill \cr x=\pi -\alpha + k 2\pi , k \in \mathbb{Z}\hfill \cr} \right.$

Nếu a không viết thành $\sin $ của một góc đẹp thì $\sin x=a \Leftrightarrow \left[ \matrix{x= \arcsin a+k2 \pi , k \in \mathbb{Z} \hfill \cr x=\pi-\arcsin a +k 2 \pi, k \in \mathbb{Z} \hfill \cr} \right.$

2. Phương trình $\cos x =a$.

• Trường hợp 1: $|a| >1$ 

Phương trình vô nghiệm vì $|\cos x | \leq 1$

• Trường hợp $|a| \leq 1$

Nếu $a=\cos \alpha$ thì $\sin x=\sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \matrix{x=\alpha +k 2\pi , k \in \mathbb{Z}\hfill \cr x=-\alpha + k 2\pi , k \in \mathbb{Z}\hfill \cr} \right.$

Nếu a không viết thành $\cos $ của một góc đẹp thì $\cos x=a \Leftrightarrow \left[ \matrix{x= \arccos a+k2 \pi , k \in \mathbb{Z} \hfill \cr x=-\arccos a +k 2 \pi, k \in \mathbb{Z} \hfill \cr} \right.$

3. Phương trình $\tan x =a$

Điều kiện $x \neq \frac{\pi}{2}+ k \pi, (k \in \mathbb{Z})$

Nếu $ a =\tan \alpha$ thì $\tan x =\tan \alpha \Leftrightarrow x=\alpha+k \pi, k \in \mathbb{Z}$.

Nếu a không viết được thành $\tan$ của một góc đẹp thì $\tan x=a \Leftrightarrow x=\arctan a+k \pi, k \in \mathbb{Z}$.

4. Phương trình $\cot x =a$.

Điều kiện $x \neq k \pi, k \in \mathbb{Z}$

Nếu $ a =\tan \alpha$ thì $\cot x =\cot \alpha \Leftrightarrow x=\alpha+k \pi, k \in \mathbb{Z}$.

Nếu a không viết được thành $\cot$ của một góc đẹp thì $\cot x=a \Leftrightarrow$ x=arccot a+$k \pi, k \in \mathbb{Z}$.