2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Phân giác trong của góc BAC cắt BC tại I.
a, Kẻ phân giác ngoài của góc BAC cắt BC tại D. Chứng minh $\left | \frac{1}{AB}-\frac{1}{AC} \right |=\frac{\sqrt{2}}{AD}$.
b, Gọi J là điểm cố định thuộc phân giác trong của góc A, đường thẳng d qua J cắt AB, AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh $\frac{1}{AP}+\frac{1}{AQ}$ không đổi.
c, Kẻ tia Bz và BT lần lượt là các phân giác trong và phân giác ngoài của góc ABC. Kẻ AN vuông góc với Bt, N thuộc Bt. Kẻ AM vuông góc với Bz, M thuộc Bz. Chứng minh MN // BC.
Bài Làm:
a, AI là phân giác trong của góc A => $\widehat{BAI}=\widehat{IAC}=\frac{90^{0}}{2}=45^{0}$
AD là phân giác ngoài của góc A => $\widehat{DAB}=\frac{90^{0}}{2}=45^{0}$
+ $\widehat{DAI}=\widehat{DAB}+\widehat{BAI}=90^{0}$ => Tam giác DAI vuông ở A
+ Ta có: SABC = SAIC + SAIB
=> $\frac{1}{2}$AB.AC = $\frac{1}{2}$.AI.AC.sin$45^{0}$ + $\frac{1}{2}$.AI.AB.sin$45^{0}$
<=> AB.AC = AI.sin$45^{0}$.(AC + AB)
<=> AI = $\frac{\sqrt{2}.AB.AC}{AB+AC}$
<=> $\frac{\sqrt{2}}{AI}= \frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}$
<=> $\frac{1}{AI}=\frac{1}{\sqrt{2}}.\left ( \frac{1}{AB}+\frac{1}{AC} \right )$ (1)
+ SADI = SAIB + SABD
=> $\frac{1}{2}$AD.AI = $\frac{1}{2}$.AI.AB.sin$45^{0}$ + $\frac{1}{2}$.AD.AB.sin$45^{0}$
<=> AD.AI = AI.AB.sin$45^{0}$ + AB. AD.sin$45^{0}$
<=> AD.AI = AB.sin$45^{0}$.(AI + AD)
<=> AB.$\frac{\sqrt{2}}{2}$ = $\frac{AD.AI}{AI+AD}$
<=> $\frac{\sqrt{2}}{AB}=\frac{1}{AD}+\frac{1}{AI} $ (2)
Thay (1) vào (2) ta có:
$\frac{\sqrt{2}}{AB}=\frac{1}{AD}+\frac{1}{\sqrt{2}}.\left ( \frac{1}{AB}+\frac{1}{AC} \right )$
<=> $\frac{1}{AD}=\frac{\sqrt{2}}{AB}-\frac{1}{\sqrt{2}}.\left ( \frac{1}{AB}+\frac{1}{AC} \right )$
<=> $\frac{1}{AD}=\frac{1}{\sqrt{2}}.\left ( \frac{1}{AB}-\frac{1}{AC} \right )$
<=> $\frac{\sqrt{2}}{AD}= \frac{1}{AB}-\frac{1}{AC}$
+) Tương tự AD là phân giác ngoài phía còn lại của góc BAC hay C nằm giữa B và D thì $\frac{\sqrt{2}}{AD}= \frac{1}{AC}-\frac{1}{AB}$
=> $\left | \frac{1}{AB}-\frac{1}{AC} \right |=\frac{\sqrt{2}}{AD}$
=> Đpcm
b, J là điểm cố định thuộc tia phân giác của góc A => Chứng minh tương tự phần (1)a
=> $\frac{\sqrt{2}}{AJ}= \frac{1}{AP}+\frac{1}{AQ}$
Vì J là cố định => AJ không đổi => $\frac{\sqrt{2}}{AJ}$ không đổi
=> $\frac{1}{AP}+\frac{1}{AQ}$ không đổi khi P, Q thay đổi.
c,
