1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (hình 5.21)
a, Giả sử AC = 12cm, AB = 10cm. Giải tam giác AHB.
b, Chứng minh:
i. cosC.cosB = $\frac{HB}{BC}$
ii. BC = AB.cosB + AC.CosC
iii. tanB.sinB = $\frac{HC}{AB}$
iv. SABC = $\frac{1}{2}$.AC.BC.sinC = $\frac{1}{2}$.BA.BC.sinB.
v. AB + AC $\leq \sqrt{2}$.BC
vi. $tan\frac{\widehat{ACH}}{2}=\frac{AH}{HC+AC}$
c, Kẻ HE $\perp $ AB, HF $\perp $ AC.
i. Chứng minh AH = EF
ii. Chứng minh AF.AC = HB.HC = AE.AB = AH$^{2}$ = EF$^{2}$.
iii. Chứng minh $\widehat{AEF}=\widehat{ACB}$; $\widehat{AFE}=\widehat{ABC}$.
iv. Gọi O là trung điểm của BC. Chứng minh AO $\perp $ EF.
v. Kẻ ET $\perp $ EF; FS $\perp $ EF (T $\in $ BH; S $\in $ HC). Chứng minh SH = SC = $\frac{1}{2}$HC; TH = TB = $\frac{1}{2}$HB.
vi. Chứng minh SEFST = $\frac{1}{2}$SABC
vii. Qua B kẻ tia Bx $\perp $ AB cắt tia AH tại K, qua C kẻ tia Ay $\perp $ Ac cắt tia AH tại G. Chứng minh HB.HC = HK.GH = AH$^{2}$; HA.HK = BA.BE = BH$^{2}$
Bài Làm:
a, BC = $\sqrt{AC^{2}+AB^{2}}=\sqrt{12^{2}+10^{2}}=\sqrt{244}$
AB.AC = AH.BC => AH = $\frac{AB.AC}{BC}$ = 7,68 cm
AB$^{2}$ = BC.BH => BH = $\frac{AB^{2}}{BC}$ = 6,4 cm
tanB = $\frac{AC}{AB}$ = 1,2 => $\widehat{B}=50^{0}11'$
tan$\widehat{BAH}=\frac{BH}{AH}$ = 0,83 => $\widehat{BAH}=39^{0}48'$
b, i. cosC.sinB = $\frac{HC}{AC}$.$\frac{AC}{BC}$ = $\frac{HC}{BC}$
sinC.cosB = $\frac{AB}{BC}$.$\frac{BH}{AB}$ = $\frac{BH}{BC}$
ii. BC = BH + HC = AB.cosB + AC.cosC
iii. tanB.sinB = $\frac{AH}{BH}$.$\frac{AH}{AB}$ = $\frac{AH^{2}}{AB.BH}$ = $\frac{HB.HC}{AB.HB}$ = $\frac{HC}{AB}$
iv. AH = AB.sinB = AC.sinC
SABC = $\frac{1}{2}$.BC.AH = $\frac{1}{2}$.BC.AB.sinB = $\frac{1}{2}$.BC.AC.sinC.
v. BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$
AB + AC $\leq \sqrt{2}$.BC <=> (AB + AC)$^{2}$ $\leq $ 2BC$^{2}$
<=> AB$^{2}$ + AC$^{2}$ + 2AB.AC $\leq $ 2(AB$^{2}$ + AC$^{2}$)
<=> AB$^{2}$ + AC$^{2}$ - 2.AB.AC $\geq $ 0
<=> (AB - AC)$^{2}$ $\geq $ 0 (luôn đúng)
=> đpcm
vi. Kẻ CI là phân giác của góc C và I thuộc AH => $\widehat{ACI}=\widehat{HCI}=\frac{\widehat{AHC}}{2}$
+ Ta có: SAHC = $\frac{1}{2}$.AH.HC
SACI = $\frac{1}{2}$.AC.CI.sin$\widehat{ACI}$
SHCI = $\frac{1}{2}$.HC.CI.sin$\widehat{HCI}$
Mà SAHC = SACI + SHCI
=> $\frac{1}{2}$.AH.HC = $\frac{1}{2}$.AC.CI.sin$\widehat{ACI}$ + $\frac{1}{2}$.HC.CI.sin$\widehat{HCI}$
<=> AH.HC = CI.sin$\widehat{HCI}$.(AC + HC)
Mặt khác CI = $\frac{HC}{cos\widehat{HCI}}$
=> AH.HC = $\frac{HC}{cos\widehat{HCI}}$.sin$\widehat{HCI}$.(AC + HC)
<=> AH = tan$\widehat{HCI}$.(AC + HC)
<=> tan$\widehat{HCI}$ = $\frac{AH}{AC+HC}$
<=> tan$\frac{\widehat{AHC}}{2}$ = $\frac{AH}{AC+HC}$ (đpcm)
c,
i. Xét tứ giác AEFH có: AE // HF (cùng vuông góc AC); AF //HE (cùng vuông góc với AB)
=> AEFH là hình bình hành
Hình bình hành AEFH có $\widehat{A}=90^{0}$ => AEFH là hình chữ nhật
=> AH = EF
ii. Xét tam giác vuông AHC có HF là đường cao => AH$^{2}$ = AF.AC
Xét tam giác vuông ABC có AH là đường cao => AH$^{2}$ = BH.HC
=> AH$^{2}$ = AF.AC = BH.HC
Mà EF = AH => EF$^{2}$ = AH$^{2}$ = AF.AC = BH.HC
iii. Xét tam giác vuông AHC có HF là đường cao => AH$^{2}$ = AF.AC
Xét tam giác vuông AHB có HE là đường cao => AH$^{2}$ = AE.AB
=> AF.AC = AE.AB => $\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}$
Xét tam giác AEF và tam giác ACB có :
- góc A chung
- $\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}$
=> $\Delta AEF\sim \Delta ACB$
=> $\widehat{AEF}=\widehat{ACB}$; $\widehat{AFE}=\widehat{ABC}$.
iv. Tam giác ABC vuông tại A có AO là đường trung tuyến => AO = $\frac{1}{2}$BC = OB = OC
+ Tam giác OAB có: OA = OB => Tam giác OAB cân tại O
=> $\widehat{OAB}=\widehat{OBA}$ (1)
+ AEFH là hình chữ nhật => AH = EF.
+ Gọi I là giao điểm của AH và EF => IA = IH = IE = IF
+ Tam giác EIA có IA = IE => Tam giác EIA cân tại I
=> $\widehat{IEA}=\widehat{IAE}$ (2)
Mà $\widehat{OBA}+\widehat{IAE}=90^{0}$ (3)
Từ (1), (2) và (3) => $\widehat{IEA}+\widehat{IAE}=90^{0}$ hay AI $\perp $ EF
v. Ta có: $\widehat{TEH}+\widehat{HEF}=90^{0}$
$\widehat{THE}+\widehat{EHA}=90^{0}$
Mà $\widehat{HEF}=\widehat{EHA}$ (vì AEFH là hình chữ nhật )
=> $\widehat{TEH}=\widehat{THE}$
=> Tam giác ETH cân tại T => ET = TH (1)
Ta có: $\widehat{EBT}+\widehat{THE}=90^{0}$ (tam giác HEB vuông tại E)
$\widehat{BET}+\widehat{TEH}=90^{0}$
Mà $\widehat{TEH}=\widehat{THE}$ (chứng minh ở trên)
=> $\widehat{EBT}=\widehat{EBT}$
=> Tam giác TEB cân tại T => ET = TB (1)
Từ (1) và (2) => TH = TB = $\frac{1}{2}$HB
Chứng minh tương tự ta có: SH = SC = $\frac{1}{2}$HC
vi. EFST là hình thanh vuông (vì ET $\perp $ EF và FS $\perp $ EF)
SEFST = $\frac{(TE+FS).EF}{2}$ = $\frac{(\frac{1}{2}HB+\frac{1}{2}HC).EF}{2}$ = $\frac{\frac{1}{2}(HB+HC).EF}{2}$ = $\frac{1}{4}$.BC.EF = $\frac{1}{4}$.BC.AH
SABC = $\frac{1}{2}$.BC.AH
=> SEFST = $\frac{1}{2}$SABC
vii.
+ AH$^{2}$ = HB.HC (*)
+ Xét tam giác ABK vuông tại B và BH là đường cao
=> BH$^{2}$ = AH.HK (3)
+ Xét tam giác ACG vuông tại C có CH là đường cao:
=> CH$^{2}$ = AH.HG (4)
=> Nhân vế với vế của (3) và (4) ta có:
BH$^{2}$.CH$^{2}$ = AH.HK.AH.HG = AH$^{2}$.HK.HG
<=> BH$^{2}$.CH$^{2}$ = BH.CH.HK.HG (AH$^{2}$ = HB.HC)
<=> BH.CH = HK.HG (**)
Từ (*) và (**) => AH$^{2}$ = HB.HC = HK.HG
+ Xét tam giác AHB vuông tại H có HE là đường cao => BH$^{2}$ = BE.AB (5)
Từ (3) và (5) => BH$^{2}$ = BE.AB = AH.HK