Giải bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Nội dung bài học gồm 2 phần:

• Lý thuyết cần biết
• Hướng dẫn giải bài tập SGK

A. Lý thuyết cần biết

I. Đạo hàm tại một điểm

1. Các bài toán dẫn đến khái niệm tìm đạo hàm

• Bài toán tìm vận tốc tức thời.

Giới hạn hữu hạn (nếu có) \(\underset{t\rightarrow t_0 }{lim }\frac{s(t)-s(t_0)}{t-t_0} \)được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm $t_0$

• Bài toán tìm cường độ tức thời.

Giới hạn hữu hạn (nếu có) \(\underset{t\rightarrow t_0 }{lim }\frac{Q(t)-Q(t_0)}{t-t_0} \)được gọi là cường độ tức thời của chuyển động tại thời điểm $t_0$

2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

ĐỊNH NGHĨA

Cho hàm số \(y=f(x)\)xác định trên khoảng \((a; b)\)và \(x_0\in (a;b)\)

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) \(\underset{x\rightarrow x_0 }{lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số \(y=f(x)\)tại điểm \(x_0\)và kí hiệu là \(f'(x_0)\)(hoặc \(y'(x_0)\)), tức là:\(f'(x_0)=\underset{x\rightarrow x_0 }{lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \)

Chú ý: 

• Đại lượng \(\Delta x=x-x_0\)được gọi là số gia của đối số tại \(x_0\).
• Đại lượng \(\Delta y=f(x)-f(x_0)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\)được gọi là số gia tương ứng của hàm số.
• Như vậy, \(y'(x_0)=\underset{\Delta x\rightarrow 0 }{lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}\)

3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

QUY TẮC

Bước 1: Giả sử \(\Delta x\)là số gia của đối số tại \(x_0\), tính \(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\)

Bước 2: Lập tỉ số \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\)

Bước 3: Tìm \(\underset{\Delta x\rightarrow 0 }{lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}\)

4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

ĐỊNH LÍ 1

Nếu hàm số \(y=f(x)\)có đạo hàm tại \(x_0\)thì nó liên tục tại điểm đó.

Chú ý: 

a. Định lí trên tương đương với khẳng đinh: Nếu hàm số $y=f(x)$ gián đoạn tại $x_0$thì nó không có đạo hàm tại điểm đó.

b. Mệnh đề đảo của định lí 1 không đúng: Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

ĐỊNH LÍ 2

Đạo hàm của hàm số \(y=f(x)\)tại điểm \(x_0\)là hệ số góc của tiếp tuyến \(M_0T\)của \((C)\)tại điểm \(M_0(x_0; f(x_0))\)

Phương trình tiếp tuyến

ĐỊNH LÍ 3

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số \(y=f(x)\)tại điểm \(M_0(x_0; f(x_0))\)là:

\(y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\)

trong đó \(y_0=f(x_0)\)

6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

• Tính vận tốc tức thời
• Tính cường độ tức thời.

II. Đạo hàm trên một khoảng

ĐỊNH NGHĨA

Hàm số \(y=f(x)\)được gọi là có đạo hàm trên khoảng \((a; b)\)nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó. 

Khi đó, ta gọi hàm số \(f':\begin{matrix}(a;b)\rightarrow \mathbb{R} & \\ x\rightarrow f'(x) & \end{matrix}\)là đạo hàm của hàm số \(y=f(x)\)trên khoảng \((a;b)\).

Kí hiệu là $y'$hay $f'(x)$