Câu 4: trang 156 sgk toán Đại số và giải tích 11
Chứng minh rằng hàm số
\(f(x) = \left\{ \matrix{
{(x - 1)^2}\text{ nếu }x \ge 0 \hfill \cr
- {x^2}\text { nếu } x < 0 \hfill \cr} \right.\)
không có đạo hàm tại điểm \(x = 0\) nhưng có đạo hàm tại điểm \(x = 2\).
Bài Làm:
Ta có
\( \mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow 0^{+}} f(x) =\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow 0^{+}} (x – 1)^2= 1\)
\( \mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow 0^{-}} f(x) = \mathop{ \lim}\limits_{x\rightarrow 0^{-}} (-x^2) = 0\).
Vì \( \mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow 0^{+}} f(x)\neq \mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow 0^{-}} f(x)\)
\(\Rightarrow \)hàm số \(y = f(x)\)gián đoạn tại \(x = 0\)
Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm \(x = 0\).
Ta có
\(\mathop{ \lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f\left ( 2+\Delta x \right )-f\left ( 2 \right )}{\Delta x}\)
\(=\mathop{\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{\left ( 1+\Delta x \right )^{2}-1^{2}}{\Delta x}\)
\( =\mathop{\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0} (2 + ∆x) = 2\).
Vậy hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm tại \(x = 2\), khi đó \(f'(2) = 2\).