Câu 8: Trang 98 - SGK Hình học 11
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = AC = AD\) và \(\widehat{BAC}=\widehat{BAD}=60^{0}.\) Chứng minh rằng:
a) \(AB ⊥ CD\);
b) Nếu \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\) thì \(MN ⊥ AB\) và \(MN ⊥ CD\).
Bài Làm:
Đặt \(AB = AC = AD=a\)
a) \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})\)
\(=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\)
\(=AB.AD.\cos\widehat{BAD}-AB.AC.\cos\widehat{BAC} =a.a.cos60^0-a.a..cos60^0=0\)
Cộng (1) với (2) theo vế với vế ta được:
$2.\overrightarrow{MN}=(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB})+(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC})+(\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{CN})$
=> \(\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\) (do M là trung điểm AB nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$, N là trung điểm CD nên $\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{0}$)
=> \(\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}).\)
=> \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}.\overrightarrow {AB} .(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} )\)
\(= {1 \over 2}(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}^{2})\)
\(= {1 \over 2}(AB.AD.\cos\widehat{BAD}+AB.AC.\cos\widehat{BAC}-AB^2)\)
\(={1 \over 2}(a.a.\cos60^0+a.a.\cos60^0-a^2)\)
\(={1 \over 2}\left({1 \over 2}a^2+{1 \over 2}a^2-a^2\right)=0\) \(\Rightarrow AB ⊥ MN\).
Chứng minh tương tự ta được: \(CD ⊥ MN\).