Câu 6: Trang 98 - SGK Hình học 11
Trong không gian cho hai hình vuông \(ABCD\) và \(ABC'D'\) có chung cạnh \(AB\) và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm \(O\) và \(O'\). Chứng minh rằng \(AB ⊥ OO'\) và tứ giác \(CDD'C'\) là hình chữ nhật.
Bài Làm:
Gọi cạnh của hai hình vuông bằng nhau ABCD và ABC'D" là $a$.
- Ta có: \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OO'}=\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AO'}-\overrightarrow{AO})\)
\(=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AO'}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AO}\)
$=AB.AO'.cos\widehat{ABO'}-AB.AO.cos\widehat{ABO}$
\(= a.a.\cos45^{0} - a.a.\cos45^{0}\)
\(= 0\).
Vậy \(AB ⊥ OO'\).
- Ta có: \(\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{CD}.(\overrightarrow{AC'}-\overrightarrow{AC})\)
\(=\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AC'}-\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AC}\)
$=CD.AC'.cos\widehat{AC'D}-CD.AC.cos\widehat{AC'D'}$
\(= a.a.\cos45^{0} - a.a.\cos45^{0}\)
\(= 0\).
=> $CD \perp CC'$ (1)
- Mặt khác: \(CD\) song song và bằng \(C'D'\) (do ABCD và ABC'D' là hai hình vuông bằng nhau)
=> \(CDD'C'\) là hình bình hành (2)
Từ (1) (2) => $CDD'C'$ là hình chữ nhật.