Luyện tập 5 trang 114 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho khối tự diện đều ABCD cạnh a. Chứng minh rằng thể tích của khối tứ diện đó bằng $\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}$
Bài Làm:
Kẻ đường cao CE của tam giác BCD => $CE = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
Gọi H là trọng tâm của tam giác BCD => AH là đường cao của tứ diện ABCD
=> $CH=\frac{2}{3}CE=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$
=> $AH=\sqrt{a^{2}-\left ( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right )^{2}}=\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{3}}$
Thể tích tứ diện đều ABCD là
$V=\frac{1}{3}\cdot S_{BCD}\cdot AH$
$=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{3}}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}$
