Bài 3 trang 115 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B'C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Góc giữa đường thẳng AC” và mặt phẳng (ABCD) bằng 60°.
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (ACC’A’) và (BDD’B’) vuông góc với nhau.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và C’D’.
Bài Làm:
a) ABCD là hình vuông => $AB\perp BD$
$BB' \perp (ABCD)$ => $BB' \perp AC$
$=> AC\perp (BDD'B')$
mà $AC\subset (ACC'A')$
$=> (ACC'A')\perp (BDD'B')$
b) Có AB // CD
CD // C'D'
=> AB // C'D'
=> d(AB,C'D')=d(B,C'D')
Tương tự, có d(B, C'D')=BC'
ABCD là hình vuông
=> $AC=a\sqrt{2}$
$CC'\perp (ABCD) => (AC',(ABCD))=(AC',AC)=\widehat{CAC'}=60^{\circ}$
=> $CC'=AC.tan\widehat{CAC'}=a\sqrt{6}$
Tam giác BCC' vuông tại C => $BC'^{2}=a\sqrt{7}$