Câu 7: Trang 105 - SGK Hình học 11
Cho tứ diện \(SABC\) có cạnh \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\) và có tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\). Trong mặt phẳng \((SAB)\) kẻ từ \(AM\) vuông góc với \(SB\) tại \(M\). Trên cạnh \(SC\) lấy điểm \(N\) sao cho \(\frac{SM}{SB}=\frac{SN}{SC}.\) Chứng minh rằng:
a) \(BC ⊥ (SAB)\) và \(AM ⊥ (SBC)\);
b) \(SB ⊥ AN\).
Bài Làm:
a) Chứng minh: $BC\perp (SAB)$
- Theo giả thiết: $SA \perp (ABC)$ mà $BC\subset (ABC)\Rightarrow SA\perp BC$
- Tam giác ABC vuông tại B nên $AB\perp BC$
- Ta có: $\left.\begin{matrix} SA& \perp BC \\ AB& \perp BC \\ SA& \cap AB \end{matrix}\right\}\Rightarrow BC\perp (SAB)$
Chứng minh: $AM\perp (SBC)$
- Ta có: $AM\subset (SAB),BC\perp (SAB)\Rightarrow BC\perp AM$
- Ta có: $\left.\begin{matrix} AM& \perp BC (cmt)\\ AM& \perp SB (gt) \\ BC& \cap SB \end{matrix}\right\}\Rightarrow AM\perp (SBC)$
b) Theo giả thiết: \(AM ⊥ (SBC)\) nên \(AM\bot SB\)
Giả thiết \(\frac{SM}{SB}=\frac{SN}{SC}\) nên theo định lí Ta - lét ta có: \(MN// BC\)
Mà \(BC\bot SB\) (do \(BC\bot (SAB)\)) do đó \(MN\bot SB\)
Ta có: $\left.\begin{matrix} MN& \perp SB (cmt)\\ AM& \perp SB (cmt) \\ AM& \cap MN \end{matrix}\right\}\Rightarrow SB\perp (AMN)\Rightarrow SB\perp MN$