Câu 5: Trang 105 - SGK Hình học 11
Trên mặt phẳng \((α)\) cho hình bình hành \(ABCD\). Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). \(S\) là một điểm nằm ngoài mặt phẳng \((α)\) sao cho \(SA = SC, SB = SD\). Chứng minh rằng:
a) \(SO ⊥ (α)\);
b) Nếu trong mặt phẳng \((SAB)\) kẻ \(SH\) vuông góc với \(AB\) tại \(H\) thì \(AB\) vuông góc mặt phẳng \((SOH)\).
Bài Làm:
a) Theo giả thiết: \(SA = SC\) nên tam giác \(SAC\) cân tại \(S\).
lại có: \(O\) là trung điểm của \(AC\) nên \(SO\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác cân $SAC$ nên \(SO\bot AC\)
Chứng minh tương tự với $SB=SD$, $O$ là trung điểm của $BD$ ta có: \(SO\bot BD\)
Ta có:
$$\left. \matrix{
SO \bot BD \hfill \cr
SO \bot AC \hfill \cr
BD \cap AC = {\rm{\{ O\} }} \hfill \cr} \right\} \Rightarrow SO \bot (ABCD)$$
Hay \(SO ⊥ mp(α)\) (đpcm)
b) \(SO ⊥ (ABCD) \Rightarrow SO ⊥ AB\) (1)
Mà \(SH ⊥ AB\) (gt) (2)
Từ (1) và (2) ta có;
$$\left. \matrix{
SO \bot AB \hfill \cr
SH \bot AB \hfill \cr
SO \cap SH = {\rm{\{ S\} }} \hfill \cr} \right\} \Rightarrow AB \bot (SHO)$$