Câu 4: Trang 105 - SGK Hình học 11
Cho tứ diện \(OABC\) có ba cạnh \(OA, OB, OC\) đôi một vuông góc. Gọi \(H\) là chân đường vuông góc hạ từ \(O\) tới mặt phẳng \((ABC)\). Chứng minh rằng:
a) H là trực tâm của tam giác \(ABC\);
b) \(\frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OB^{2}}+\frac{1}{OC^{2}}.\)
Bài Làm:
Kéo dài AH cắt BC tại E, CH cắt AB tại K.
a) Chứng minh H là trực tâm tam giác ABC.
- \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên mp \((ABC)\) (gt) nên \(OH ⊥ (ABC) \Rightarrow OH ⊥ BC\) (Tính chất)
- Mặt khác: \(OA ⊥ OB\), \(OA ⊥ OC\) (gt) mà $OB \cap OC$
\(\Rightarrow OA ⊥ (OBC) \Rightarrow OA ⊥ BC\) (Tính chất)
Ta có:
$\left.\begin{matrix} OH& \perp BC \\ OA& \perp BC \\ OH& \cap OA \end{matrix}\right\}\Rightarrow BC\perp (OAH)$
mà: \(AH\subset (OAH) \Rightarrow BC ⊥ AH\) (1)
- Chứng minh tương tự: \(OA ⊥ OC\), \(OB ⊥ OC\) (gt) mà $OA \cap OB$
\(\Rightarrow OC ⊥ (OAB) \Rightarrow OC ⊥ AB\) (Tính chất)
Ta có:
$\left.\begin{matrix} OH& \perp AB \\ OC& \perp AB \\ OH& \cap OC \end{matrix}\right\}\Rightarrow AB\perp (OHC)$
mà: \(CH\subset (OHC) \Rightarrow AB ⊥ HC\) (2)
- Từ (1) (2) \(\Rightarrow H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\).
b)
- Trong mặt phẳng \((ABC)\) vì \(E = AH ∩ BC\), \(OH ⊥ (ABC)\), \(AE ⊂ (ABC) \Rightarrow OH ⊥ AE\) tại \(H\);
- \(OA ⊥ (ABC), OE ⊂ (ABC) \Rightarrow OA ⊥ OE\)
=> \(OH\) là đường cao của tam giác vuông \(OAE\)
=> \(\frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OE^{2}}\) (3)
Mặt khác \(OE\) là đường cao của tam giác vuông \(OBC\)
=> \(\frac{1}{OE^{2}}=\frac{1}{OB^{2}}+\frac{1}{OC^{2}}\)
Thay vào (3) ta có:
\(\frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OE^{2}} =\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OB^{2}}+\frac{1}{OC^{2}}.\)