Giải Câu 4 Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Câu 4: Trang 105 - SGK Hình học 11

Cho tứ diện \(OABC\) có ba cạnh \(OA, OB, OC\) đôi một vuông góc. Gọi \(H\) là chân đường vuông góc hạ từ \(O\) tới mặt phẳng \((ABC)\). Chứng minh rằng:

a) H là trực tâm của tam giác \(ABC\);

b) \(\frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OB^{2}}+\frac{1}{OC^{2}}.\)

Bài Làm:

Giải Câu 4 Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Kéo dài AH cắt BC tại E, CH cắt AB tại K.

a) Chứng minh H là trực tâm tam giác ABC.

  • \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên mp \((ABC)\) (gt) nên \(OH ⊥ (ABC) \Rightarrow OH ⊥ BC\)  (Tính chất)
  • Mặt khác: \(OA ⊥ OB\), \(OA ⊥ OC\) (gt) mà $OB \cap OC$

\(\Rightarrow OA ⊥ (OBC) \Rightarrow OA ⊥ BC\)   (Tính chất)

Ta có: 

$\left.\begin{matrix} OH& \perp BC \\  OA& \perp BC \\  OH& \cap OA \end{matrix}\right\}\Rightarrow BC\perp (OAH)$

mà: \(AH\subset (OAH) \Rightarrow BC  ⊥ AH\)    (1)

  • Chứng minh tương tự:  \(OA ⊥ OC\), \(OB ⊥ OC\) (gt) mà $OA \cap OB$

\(\Rightarrow OC ⊥ (OAB) \Rightarrow OC ⊥ AB\)   (Tính chất)

Ta có: 

$\left.\begin{matrix} OH& \perp AB \\  OC& \perp AB \\  OH& \cap OC \end{matrix}\right\}\Rightarrow AB\perp (OHC)$

mà: \(CH\subset (OHC) \Rightarrow AB  ⊥ HC\)     (2)

  • Từ (1) (2) \(\Rightarrow H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\).

b)

  • Trong mặt phẳng \((ABC)\) vì \(E = AH ∩ BC\), \(OH ⊥ (ABC)\), \(AE ⊂ (ABC) \Rightarrow OH ⊥ AE\) tại \(H\);
  • \(OA ⊥ (ABC), OE ⊂ (ABC) \Rightarrow OA ⊥ OE\)

=> \(OH\) là đường cao của tam giác vuông \(OAE\)

=> \(\frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OE^{2}}\)   (3)

Mặt khác \(OE\) là đường cao của tam giác vuông \(OBC\) 

=> \(\frac{1}{OE^{2}}=\frac{1}{OB^{2}}+\frac{1}{OC^{2}}\)

Thay vào (3) ta có:

\(\frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OE^{2}} =\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OB^{2}}+\frac{1}{OC^{2}}.\)

Xem thêm Bài tập & Lời giải

Trong: Giải Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Câu 1: Trang 104 - SGK Hình học 11

Cho hai đường thẳng phân biệt \(a,b\) và mặt phẳng \((\alpha)\). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

a) Nếu \(a//(\alpha)\) và \(b\bot (\alpha)\) thì \(a\bot b\)

b) Nếu \(a//(\alpha)\) và \(b\bot a\) thì \(b\bot (\alpha)\)

c) Nếu \(a//(\alpha)\) và \(b// (\alpha)\) thì \(b//a\)

d) Nếu \(a\bot (\alpha)\) và \(b\bot a\) thì \(b// (\alpha)\)

Xem lời giải

Câu 2: Trang 104 - SGK Hình học 11

Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân có chung đáy BC. Gọi I là trung điểm của cạnh BC.

a) Chứng minh rằng BC vuông góc với mặt phẳng (ADI)

b) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI, chứng minh rằng AH vuông góc với mặt phẳng (BCD).

Xem lời giải

Câu 3: Trang 104 - SGK Hình học 11

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi \(ABCD\) và có \(SA=SB=SC=SD\).Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Chứng minh rằng:

a) Đường thẳng \(SO\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\);

b) Đường thẳng \( AC\) vuông góc với mặt phẳng \((SBD)\) và đường thẳng \(BD\) vuông góc với mặt phẳng \(SAC\).

Xem lời giải

Câu 5: Trang 105 - SGK Hình học 11

Trên mặt phẳng \((α)\) cho hình bình hành \(ABCD\). Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). \(S\) là một điểm nằm ngoài mặt phẳng \((α)\) sao cho \(SA = SC, SB = SD\). Chứng minh rằng:

a) \(SO ⊥ (α)\);

b) Nếu trong mặt phẳng \((SAB)\) kẻ \(SH\) vuông góc với \(AB\) tại \(H\) thì \(AB\) vuông góc mặt phẳng \((SOH)\).

Xem lời giải

Câu 6: Trang 105 - SGK Hình học 11

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi \(ABCD\) và có cạnh \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\). Gọi \(I\) và \(K\) là hai điểm lần lượt lấy trên hai cạnh \(SB\) và \(SD\) sao cho \(\frac{SI}{SB}=\frac{SK}{SD}.\) Chứng minh:

a) \(BD\) vuông góc với \(SC\);

b) \(IK\) vuông góc với mặt phẳng \((SAC)\).

Xem lời giải

Câu 7: Trang 105 - SGK Hình học 11

Cho tứ diện \(SABC\) có cạnh \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\) và có tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\). Trong mặt phẳng \((SAB)\) kẻ từ \(AM\) vuông góc với \(SB\) tại \(M\). Trên cạnh \(SC\) lấy điểm \(N\) sao cho \(\frac{SM}{SB}=\frac{SN}{SC}.\) Chứng minh rằng:

a) \(BC ⊥ (SAB)\) và \(AM ⊥ (SBC)\);

b) \(SB ⊥ AN\).

Xem lời giải

Câu 8: Trang 105 - SGK Hình học 11

Cho điểm \(S\) không thuộc cùng mặt phẳng \((α)\) có hình chiếu là điểm \(H\). Với điểm \(M\) bất kì trên \((α)\) và \(M\) không trùng với \(H\), ta gọi \(SM\) là đường xiên và đoạn \(HM\) là hình chiếu của đường xiên đó. Chứng minh rằng:

a) Hai đường thẳng xiên bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu của chúng bằng nhau;

b) Với hai đường xiên cho trước, đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn và ngược lại đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.

Xem lời giải

Xem thêm các bài Hình học lớp 11, hay khác:

Để học tốt Hình học lớp 11, loạt bài giải bài tập Hình học lớp 11 đầy đủ kiến thức, lý thuyết và bài tập được biên soạn bám sát theo nội dung sách giáo khoa Lớp 11.

Lớp 11 | Để học tốt Lớp 11 | Giải bài tập Lớp 11

Giải bài tập SGK, SBT, VBT và Trắc nghiệm các môn học Lớp 11, dưới đây là mục lục các bài giải bài tập sách giáo khoa và Đề thi chi tiết với câu hỏi bài tập, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và 2 (đề kiểm tra học kì 1 và 2) các môn trong chương trình Lớp 11 giúp bạn học tốt hơn.