Câu 44: Trang 86 - SGK Toán 9 tập 2
Cho tam giác ABC vuông ở A, có cạnh BC cố định. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong. Tìm quỹ tích điểm I khi A thay đổi.
Bài Làm:
BI là tia phân giác $\widehat{ABC}$ => $\widehat{B_{1}}$ = $\widehat{B_{2}}$ = $\frac{1}{2}$ $\widehat{ABC}$
CI là tia phân giác $\widehat{ACB}$ => $\widehat{C_{1}}$ = $\widehat{C_{2}}$ = $\frac{1}{2}$ $\widehat{ACB}$
=> $\widehat{B_{1}}$ + $\widehat{C_{1}}$ = $\widehat{B_{2}}$ + $\widehat{C_{2}}$ = $\frac{1}{2}$ ($\widehat{ABC}$ + $\widehat{ACB}$)
= $\frac{1}{2}$ . $90^{\circ}$ (Do tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{ABC}$ + $\widehat{ACB}$ = $90^{\circ}$)
= $45^{\circ}$
Ta có: $\widehat{I_{1}}$ = $\widehat{A_{1}}$ + $\widehat{B_{1}}$ (tính chất góc ngoài $\Delta ABI$)
$\widehat{I_{2}}$ = $\widehat{A_{2}}$ + $\widehat{C_{1}}$ (tính chất góc ngoài $\Delta ACI$)
=> $\widehat{I_{1}}$ + $\widehat{I_{2}}$ = $\widehat{A_{1}}$ + $\widehat{B_{1}}$ + $\widehat{A_{2}}$ + $\widehat{C_{1}}$
=> $\widehat{BIC}$ = $\widehat{A_{1}}$ + $\widehat{A_{2}}$ + $\widehat{B_{1}}$ + $\widehat{C_{1}}$
= $90^{\circ}$ + $45^{\circ}$ = $135^{\circ}$
=> Điểm I luôn nhìn đoạn thẳng BC dưới 1 góc không đổi là $135^{\circ}$, vậy quỹ tích điểm I là cung chứa góc $135^{\circ}$ dựng trên đoạn thẳng BC.