4. Cho tam giác ABC cân tại A, O là trung điểm của BC. Vẽ dường tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC tại H và K. Một tiếp tuyến với đường tròn (O) tại E cắt các cạnh AB, Ac tại M và N.
a, Chứng minh rằng $\widehat{MON}=\frac{1}{2}\widehat{HOK}$
b, Giả sử $\widehat{B}=50^{0}$, tính góc MON.
c, Chứng minh rằng tam giác BMO và CON đồng dạng với nhau.
d, Chứng minh rằng tích BM.CN không đổi khi tiếp tuyến với đường tròn (O) thay đổi.
e, Tìm vị trí tiếp tuyến với đường tròn (O) tại E để tổng BM + CN là nhỏ nhất.
Bài Làm:
a, AB và MN là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M của đường tròn (O)
=> $\widehat{HOM}=\widehat{EOM}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
AC là MN là hai tiếp tuyến cắt nhau tại N của đường tròn (O)
=> $\widehat{KON}=\widehat{EON}$
+ Ta có $\widehat{HOK}=\widehat{HOM}+\widehat{EOM}+\widehat{KON}+\widehat{EON}$
<=> $\widehat{HOK}=2.(\widehat{EOM}+\widehat{EON})$
<=> $\widehat{HOK}=2.\widehat{MON}$
<=> $\widehat{MON}=\frac{1}{2}\widehat{HOK}$
b, Tam giác ABC cân tại A => $\widehat{B}=\widehat{B}=50^{0}$
$\widehat{HOB}=90^{0}-\widehat{B}=90^{0}-50^{0}=40^{0}$
$\widehat{KOC}=90^{0}-\widehat{C}=90^{0}-50^{0}=40^{0}$
$\widehat{HOK}=180^{0}-\widehat{HOB}-\widehat{KOC}=180^{0}-40^{0}-40^{0}=100^{0}$
$\widehat{MON}=\frac{1}{2}\widehat{HOK}=\frac{1}{2}.100^{0}=50^{0}$
c,
d,
