3. Cho đoạn thẳng AB. Tren cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đường tròn (O) đường kính AB và các tiếp tuyến Ax, By. Trên nửa đường tròn tâm O lấy điểm M, qua M vẽ tiếp tuyến với đường tròn, cắt Ax, By lần lượt tại C và D (hình 6.8).
a, Chứng minh rằng tứ giác ACDB là hình thang vuông.
b, Chứng minh rằng các tam giác ACM và BDM cân.
c, Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến cua đường tròn đường kính CD.
d, Gọi N là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng MN vuông góc với AB.
e, Chứng minh rằng khi M di chuyển trên nửa đường tròn thì tích AC.BD không đổi.
f, Tìm vị trí của M trên nửa đường tròn để diện tích tứ giác ACDB nhỏ nhất. Tính diện tích nhỏ nhất của tứ giác ACDB theo AB.
Bài Làm:
a, Ax, By là tiếp tuyến của đường tròn O tại => Ax $\perp $ AB và By $\perp $ AB
=> Ax // By
Mà C $\in $ Ax và D $\in $ By => AC // BD
+ Tứ giác ACDB có AC // BD và $\widehat{CAB}=90^{0}$ => ACDB là hình thang vuông
b, Ta có AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A, MC là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M
=> AC = CM (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
+ Tam giác ACM có AC = CM => Tam giác ACM cân tại C
Chứng mnh tương tự ta có tam giác BDM cân tại D.
c, Gọi I là trung điểm của CD => I là tâm đường tròn đường kính CD
Hình tháng vuông ABCD có I là trung điểm của CD, O là trung điểm của AB
=> OI là đường trung bình của hình thang
=> OI $\perp $ AB tại O
+ AC và MC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C của đường tròn (O)
=> OC là phân giác của góc ACM và góc AOM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
=> $\widehat{AOC}=\widehat{MOC}$
Chứng minh tương tự ta có: $\widehat{BOD}=\widehat{MOD}$
+ Ta có: $\widehat{AOC}+\widehat{MOC}+\widehat{BOD}+\widehat{MOD}=180^{0}$
=> $2.\widehat{MOC}+2.\widehat{MOD}=180^{0}$
<=> 2.$(\widehat{MOC}+\widehat{MOD})=180^{0}$
<=> $\widehat{MOC}+\widehat{MOD}=90^{0}$
<=> $\widehat{COD}=90^{0}$
+ Xét tam giác COD vuông tại O có OI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền CD => OI = $\frac{1}{2}$CD
=> OI = IC = ID => O thuộc đường tròn tâm I đường kính CD.
+ Xét đường tròn tâm I đường kính CD và đường thẳng AB có:
- O là điểm chung duy nhất
- OI $\perp $ AB tại O
=> AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.
d, Xét tam giác NAC và tam giác NDB có AC // BD
=> $\frac{ND}{NA}=\frac{BD}{AC}$ (hệ quả của định lí ta-lét)
Mà DB = MD và AC = MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
=> $\frac{ND}{NA}=\frac{MD}{MC}$
+ Xét tam giác CDA có: $\frac{ND}{NA}=\frac{MD}{MC}$ => MN // AC (định lí đảo của dịnh lí Ta-lét)
Mà AC $\perp $ AB => MN $\perp $ AB
e, CD là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M => OM $\perp $ CD
Xét tam giác COD vuông tại O (chứng minh ở phần c), có đường cao OM
=> OM$^{2}$ = MC.MD (hệ thức giữa đường cao ứng với cạnh huyền và các hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền)
Mà MC = AC và MD = DB => OM$^{2}$ = AC.DB
=> AC.BD = R$^{2}$
=> Khi M thay đổi thì tích AC.BD không đổi và luôn bằng R$^{2}$.
f, Tứ giác ACBD là hình thang vuông => SACBD = $\frac{(AC+BD).AB}{2}$ = $\frac{(CM+MD).AB}{2}$ = $\frac{CD.AB}{2}$
+ Để diện tích tứ giác ACBD là nhỏ nhất thì độ dài đoạn thẳng CD là nhỏ nhất.
=> Khi đó OM $\perp $ CD và OM $\perp $ AB => CD // AB và CD = AB
SACBD = $\frac{CD.AB}{2}$ = $\frac{AB^{2}}{2}$
