Câu 38: Trang 82 – SGK Toán 9 tập 2
Trên một đường tròn, lấy liên tiếp ba cung AC, CD, DB sao cho: sđ cung AC = sđ cung CD = sđ cung DB = $60^{\circ}$. Hai đường thẳng AC, BD cắt nhau tại E. Hai tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại T. Chứng minh rằng
a) $\widehat{AEB}$ = $\widehat{BTC}$
b) CD là tia phân giác của $\widehat{BCT}$
Bài Làm:
a) Ta có: AB là đường kính của (O) => sđ cung AB = $180^{\circ}$
=> sđ cung lớn BC = sđ cung AB + sđ cung AC = $180^{\circ}+60^{\circ}=240^{\circ}$
Sđ cung nhỏ BC = sđ cung CD + sđ cung DB = $60^{\circ}+60^{\circ}=120^{\circ}$
Ta có: $\widehat{BTC}$ là góc có đỉnh nằm bên ngoài (O) nên
$\widehat{BTC}$ =$\frac{1}{2}$ . sđ (cung lớn CB – cung nhỏ CB) =$\frac{1}{2}.120^{\circ}$ = $60^{\circ}$ (1)
Mặt khác: $\widehat{AEB}$ là góc có đỉnh nằm bên ngoài (O) nên
$\widehat{AEB}$=$\frac{1}{2}$ . sđ (cung AB – cung CD) = $\frac{180^{\circ}-60^{\circ}}{2}$ = $60^{\circ}$ (2)
Từ (1)(2) => $\widehat{BTC}$ = $\widehat{AEB}$ (= $60^{\circ}$) (đpcm)
b) Ta có: $\widehat{DCT}$ là góc tạo bởi tia tiếp tiếp CT và dây cung CD của (O) => $\widehat{DCT}$ = $\frac{1}{2}$ . sđ cung CD
Lại có: $\widehat{BCD}$ là góc nội tiếp chắn cung CB của (O) => $\widehat{BCD}$ = $\frac{1}{2}$ . sđ cung CB
mà sđ cung CD = sđ cung CB (gt)
=> $\widehat{DCT}$ = $\widehat{BCD}$
=> CD là tia phân giác của $\widehat{BCT}$