Câu 37: Trang 126 - SGK Toán 9 tập 2
Cho nửa đường tròn tâm \(O\), đường kính \(AB = 2R\), \(Ax\) và \(By\) là hai tiếp tuyến với nửa đường tròn tại \(A\) và \(B\). Lấy trên tia \(Ax\) điểm \(M\) rồi vẽ tiếp tuyến \(MP\) cắt \(By\) tại \(N\).
a) Chứng minh rằng \(MON\) và \(APB\) là hai tam giác vuông đồng dạng.
b) Chứng minh rằng \(AM.BN = R^2\)
c) Tính tỉ số \(\frac{S_{MON}}{S_{APB}}\)khi \(AM\) = \(\frac{R}{2}\)
d) Tính thể tích của hình do nửa hình tròn \(APB\) quay quanh \(AB\) sinh ra.
Bài Làm:
a) - Ta có \(OM\), \(ON\) lần lượt là tia phân giác của \(\widehat {AOP}\) và \(\widehat {BOP}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Mà \(\widehat {AOP}\) kề bù \(\widehat {BOP}\) nên suy ra \(OM\) vuông góc với \(ON\). (tính chất 2 tiếp tuyến của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau)
Vậy \(∆MON\) vuông tại \(O\) => $\widehat{MON}=90^{\circ}$
- Ta có: Tứ giác \(AOPM\) nội tiếp một đường tròn vì có \(\widehat{MAP}\) + \(\widehat{MPO}\) = \(180^0\) (2 góc vuông do Ax và MP là 2 tiếp tuyến của (O) tại A và P). => \(\widehat{PMO}\) = \(\widehat{PAO}\) (cùng chắn cung \(OP\) trong đường tròn đường kính OM).
Xét hai tam giác \(MON\) và \(APB\) có:
$\widehat{MON}=\widehat{APB} (=90^{\circ})$
\(\widehat{PMO}\) = \(\widehat{PAO}\) (cmt)
=> $\Delta MON \sim \Delta APB $ (g.g)
b)Ta có: \(AM = MP, BN = NP\) (1) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Tam giác vuông \(MON\) có \(OP\) là đường cao nên: \(MP.PN = OP^2\) (Hệ thúc lượng trong tam giác vuông) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AM.BN = {OP^2} = {R^2}\)
c) Ta có: $\Delta MON \sim \Delta APB$ (cmt)
=> $\frac{MN}{AB}=\frac{OM}{AP}=\frac{ON}{PB}$ (các cạnh tương ứng tỉ lệ) (3)
Ta có: $S_{MON}=\frac{1}{2}.OM.ON$
$S_{APN}=\frac{1}{2}.AP.PB$
=> $\frac{S_{MON}}{S_{APN}}=\frac{OM.ON}{AP.PB}=\frac{OM}{AP}.\frac{ON}{PB}$
Thay (3) vào ta có: $\frac{S_{MON}}{S_{APN}}=(\frac{MN}{AB})^{2}=\frac{MN^{2}}{AB^{2}}$
Khi \(AM\) = \(\frac{R}{2}\) thì từ \(AM.BN = {R^{2{\rm{ }}}}\) suy ra \(BN = 2R\)
Do đó \(MN = MP + PN = AM + BN\) = \(\frac{R}{2}\) + \(2R\) = \(\frac{5R}{2}\)
Suy ra \(MN^2\) = \(\frac{25R^2}{4}\)
Vậy \(\frac{S_{MON}}{S_{APB}}\) = \(\frac{ \frac{25R^2}{4}}{(2R)^2}= \frac{25}{16}\)
d) Nửa hình tròn \(APB\) quay quanh đường kính \(AB = 2R\) sinh ra một hình cầu có bán kính \(R\).
Vậy thể tích hình câu được sinh ra là: \(V\) = \(\frac{4}{3}\)\(πR^3\)
