Câu 36: Trang 126 - SGK Toán 9 tập 2
Một chi tiết máy gồm một hình trù và hai nửa hình cầu với các kích thước đã cho trên hình 111 (đơn vị: cm)
Hình 111
a) Tìm một hệ thức giữa \(x\) và \(h\) khi \(AA'\) có độ dài không đổi và bằng \(2a\).
b) Với điều kiện ở a) hãy tính diện tích bề mặt và thể tích của chi tiết theo \(x\) và \(a\).
Bài Làm:
a) Từ hình 111, ta thấy đường kinh của 2 nửa hình cầu là $2x$ => bán kính mỗi nửa cầu là $x$.
Theo hình 111 ta có: $AA’=OA +OO’+O’A’=x+h+x=2x+h$
=> $2a=2x+h$
b) - Diện tích cần tính gồm diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy là \(x\), chiều cao là \(h\) và diện tích mặt cầu có bán kính là \(x\).
+Diện tích xung quanh của hình trụ: \({S_{trụ}} = {\rm{ }}2\pi xh\)
+ Diện tích mặt cầu:\({S_{cầu}} = {\rm{ }}4\pi {x^2}\)
=> Diện tích bề mặt của chi tiết máy là:
\(S{\rm{ }} = {\rm{ }}{S_{trụ}} + {S_{cầu}}\)
\(= 2\pi xh{\rm{ }} + 4\pi {x^{2}} = 2\pi x\left( {h + 2x} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}4\pi ax\)
- Thể tích cần tìm gồm thể tích hình trụ và thể tích hình cầu. Ta có:
\({V_{trụ}}{\rm{ }} = \pi {x^2}h\)
\({V_{cầu}} = {4 \over 3}\pi {x^3}\)
Nên thể tích của chi tiết máy là:
\(V = {V_{trụ}} + {V_{cầu}} = \pi {x^2}h + {4 \over 3}\pi {x^3}\)
\(= 2\pi {x^2}(a - x) + {4 \over 3}\pi {x^3} = 2\pi {x^2}\left( {a - {1 \over 3}x} \right)\)
