Giải câu 17 bài: Luyện tập sgk Toán đại 9 tập 2 Trang 16

a. $\left\{\begin{matrix}x\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1 & \\ x+y\sqrt{3}=\sqrt{2} & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1(1) & \\ x=\sqrt{2}-y\sqrt{3}(2) & \end{matrix}\right.$

Thế phương trình (2) vào phương trình (1) ta được:

$(\sqrt{2}-y\sqrt{3})\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1$

$\Leftrightarrow 2-y\sqrt{6} -y\sqrt{3}=1$

$\Leftrightarrow 2-(y\sqrt{6}+y\sqrt{3})=1$

$\Leftrightarrow 2-y(\sqrt{6}+\sqrt{3})=1$

$\Leftrightarrow y(\sqrt{6}+\sqrt{3})=2-1$

$\Leftrightarrow y(\sqrt{6}+\sqrt{3})=1$

$\Leftrightarrow y=\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}$

$\Leftrightarrow y=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{6-3}$

$\Leftrightarrow y=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}-1)}{3}$

$\Leftrightarrow y=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{3}}$

Thay $y=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{3}}$vào phương trình (2) ta được:

$x=\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{3}}\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow x=\sqrt{2}-(\sqrt{2}-1)$

$\Leftrightarrow x=\sqrt{2}-\sqrt{2}+1$

$\Leftrightarrow x=1$

Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là $\left ( 1;\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{3}} \right )$

b. $\left\{\begin{matrix}x-2\sqrt{2}y=\sqrt{5} & \\ x\sqrt{2}+y=1-\sqrt{10} & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=\sqrt{5}+2\sqrt{2}y(3) & \\ x\sqrt{2}+y=1-\sqrt{10}(4) & \end{matrix}\right.$

Thế phương trình (3) vào phương trình (4) ta được:

$(\sqrt{5}+2\sqrt{2}y)\sqrt{2}+y=1-\sqrt{10}$

$\Leftrightarrow \sqrt{10}+2.2y+y=1-\sqrt{10}$

$\Leftrightarrow \sqrt{10}+5y=1-\sqrt{10}$

$\Leftrightarrow 5y=1-\sqrt{10}-\sqrt{10}$

$\Leftrightarrow 5y=1-2\sqrt{10}$

$\Leftrightarrow y=\frac{1-2\sqrt{10}}{5}$

Thế $y=\frac{1-2\sqrt{10}}{5}$vào phương trình (3) ta được:

$x=\sqrt{5}+2\sqrt{2}\frac{1-2\sqrt{10}}{5}$

$\Leftrightarrow x=\frac{5\sqrt{5}}{5}+\frac{2\sqrt{2}(1-2\sqrt{10})}{5}$

$\Leftrightarrow x=\frac{5\sqrt{5}}{5}+\frac{2\sqrt{2}-4\sqrt{20}}{5}$

$\Leftrightarrow x=\frac{5\sqrt{5}}{5}+\frac{2\sqrt{2}-8\sqrt{5}}{5}$

$\Leftrightarrow x=\frac{5\sqrt{5}+2\sqrt{2}-8\sqrt{5}}{5}$

$\Leftrightarrow x=\frac{-3\sqrt{5}+2\sqrt{2}}{5}$

$\Leftrightarrow x=\frac{2\sqrt{2}-3\sqrt{5}}{5}$

Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là $\left ( \frac{2\sqrt{2}-3\sqrt{5}}{5};\frac{1-2\sqrt{10}}{5} \right )$

c. $\left\{\begin{matrix}(\sqrt{2}-1)x-y=\sqrt{2} & \\ x+(\sqrt{2}+1)y=1 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=(\sqrt{2}-1)x-\sqrt{2}(5) & \\ x+(\sqrt{2}+1)y=1(6) & \end{matrix}\right.$

Thế phương trình (5) vào phương trình (6) ta được:

$x+(\sqrt{2}+1).[(\sqrt{2}-1)x-\sqrt{2}]=1$

$\Leftrightarrow x+(\sqrt{2}+1).(\sqrt{2}-1)x-(\sqrt{2}+1)\sqrt{2}=1$

$\Leftrightarrow x+(2-1)x-(2+\sqrt{2})=1$

$\Leftrightarrow x+x=1+(2+\sqrt{2})$

$\Leftrightarrow 2x=1+2+\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow 2x=3+\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow x=\frac{3+\sqrt{2}}{2}$

Thế $x=\frac{3+\sqrt{2}}{2}$vào phương trình (5) ta được:

$y=(\sqrt{2}-1)\frac{3+\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow y=\frac{(\sqrt{2}-1).(3+\sqrt{2})}{2}-\frac{2\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow y=\frac{3\sqrt{2}-3+2-\sqrt{2}}{2}-\frac{2\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow y=\frac{3\sqrt{2}-3+2-\sqrt{2}-2\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow y=\frac{-1}{2}$

Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là $\left ( \frac{3+\sqrt{2}}{2};\frac{-1}{2} \right )$