Câu 14: Trang 72 - SGK Toán 9 tập 2
a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy. Mệnh đề đảo có đúng không? Hãy nêu thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng.
b) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại
Bài Làm:
a) Vì I là điểm chính giữa của cung AB, suy ra cung IA = cung IB => IA = IB (liên hệ giữa cung và dây)
Ta có: OA = OB = bán kính. Suy ra đường kính IK là đường trung trực của dây AB.
Vậy HA = HB (đpcm)
Mệnh đề đảo: Đường kính đi qua trung điểm của một dây thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó.
Chứng minh: Vì ΔAOB cân tại O và HA = HB nên OH là đường phân giác của $\widehat{AOB}$.
Suy ra $\widehat{O_{1}}$ = $\widehat{O_{2}}$
Từ đó suy ra cung IA = cung IB
Tuy nhiên điều này không thể xảy ra khi dây AB đi qua tâm O của đường tròn.
Vậy phải thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng là: Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó.
b) Ta có: I là điểm chính giữa cung AB => cung IA = cung IB => IA = IB => I nằm trên trung trực của AB. (1)
Lại có: OA = OB (= bán kính) => O nằm trên trung trực của AB (2)
Từ (1), (2) suy ra: OI là trung trực của AB => OI $\perp $ AB (đpcm)
Ngược lại: Ta có dây cung AB, bán kính OI $\perp$ AB, cần chứng minh I là điểm chính giữa cung AB
Xét tam giác OAB cân tại O (OA = OB) có OH là đường cao
=> OH đồng thời là đường phân giác
=> $\widehat{O_{1}}$ = $\widehat{O_{2}}$
=> cung IA = cung IB (định lý về góc ở tâm)
=> Điểm I là điểm chính giữa cung AB (đpcm)
