1. Cho $\Delta $ABC, trung tuyến BN và trung tuyến AI cắt nhau tại O. Trên tia đối của tia IA lấy điểm E sao cho IE = IO
a) Chứng minh độ dài các cạnh của $\Delta $BOE bằng $\frac{2}{3}$ độ dài các đường trung tuyến của $\Delta $ABC
b) Chứng minh rằng ta có thể vẽ một tam giác có độ dài ba cạnh là độ dài ba đường trung tuyến thuộc $\Delta $ABC
2. Cho $\Delta $ABC, kẻ ba đường trung tuyến AI, BE, CF cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia IA lấy điểm M sao cho IM = IG. Trên tia đối của tia EB lấy điểm N sao cho EN = EG. Trên tia đối của tia FC lấy điểm P, sao cho PF = FG.
a) Chứng minh : $\Delta $MNP = $\Delta $ABC
b) Chứng minh G cũng là trọng tâm của $\Delta $MNP
3. Chứng minh rằng nếu một tam giác có đường trung tuyến thuộc một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.
4. Cho $\Delta $ABC có AB > AC và ba đường trung tuyến AI, BE và CF. Chứng minh rằng:
a) $\frac{AB-AC}{2}<AI<\frac{AB+AC}{2}$
b) Tổng độ dài ba đường trung tuyến nhỏ hơn chu vi $\Delta $ABC nhưng lớn hơn $\frac{3}{4}$ chu vi tam giác đó.
Bài Làm:
1.
a) O là trọng tâm $\Delta $ABC (giả thiết), suy ra AI là trung tuyến của $\Delta $ABC.
Xét $\Delta $BOE, có BO = $\frac{2}{3}$BN (tính chất)
Có: ON = $\frac{1}{3}$BN; OI = $\frac{1}{3}$AI
Mà OI = IE $\Rightarrow $ OI = IE = $\frac{1}{3}$AI
Vậy OI + IE = $\frac{1}{3}$AI + $\frac{1}{3}$AI = $\frac{2}{3}$AI
Xét $\Delta $BIE và $\Delta $CIO có:
OI = IE
BI = IC
$\widehat{I_{1}}=\widehat{I_{2}}$ (đối đỉnh)
$\Rightarrow $ $\Delta $BIE = $\Delta $CIO (c.g.c)
$\Rightarrow $ BE = CO
Mà CO = $\frac{2}{3}$CK $\Rightarrow $ BE = $\frac{2}{3}$CK
Vậy $\Delta $BOE có 3 cạnh: OE = $\frac{2}{3}$AI; BO = $\frac{2}{3}$BN; BE = $\frac{2}{3}$CK (đpcm)
b) $\Delta $BOE tồn tại ba đoạn OE, BO và BE thỏa mãn bất đẳng thức trong tam giác:
BE - OE < OB < BE + OE
$\Leftrightarrow \frac{2}{3}CK - \frac{2}{3}AI < \frac{2}{3}BN<\frac{2}{3}CK +\frac{2}{3}AI$
$\Rightarrow $ CK - AI < BN < CK + AI
Ba đoạn thẳng AI, CK và BN thỏa mãn bất đẳng thức trong tam giác.
Vậy tồn tại một tam giác có ba cạnh là độ dài của ba đoạn thẳng BN, CK và AI
2.
a) G là trọng tâm $\Delta $ABC nên:
GI = $\frac{1}{3}$AI (tính chất)
Mà GI = IM nên GM = GA = $\frac{2}{3}$AI (1)
Tương tự ta có: GN = GB = $\frac{2}{3}$BE (2)
GP = GC = $\frac{2}{3}$CF (3)
Xét $\Delta $PGN và $\Delta $CGB có:
GP = GC
GN = GB
$\widehat{PGN}=\widehat{CGB}$
$\Rightarrow $ $\Delta $PGN = $\Delta $CGB (c.g.c) $\Rightarrow $ PN = BC và $\widehat{P_{1}}=\widehat{C_{1}}$
Tương tự ta có:
$\Delta $GPM = $\Delta $GCA (c.g.c) $\Rightarrow $ PM = AC
$\Delta $GNM = $\Delta $GBA (c.g.c) $\Rightarrow $ MN = AB
Xét $\Delta $ABC và $\Delta $PNM có:
PM = AC
MN = AB
PN = BC
$\Rightarrow $ $\Delta $ABC = $\Delta $PNM (c.c.c)
b) PN cắt AM tại Q. Xét $\Delta $GPQ và $\Delta $GCI có:
GP = GC
$\widehat{D_{1}}=\widehat{C_{1}}$
$\widehat{PGQ}=\widehat{CGI}$
$\Rightarrow $ $\Delta $GPQ = $\Delta $GCI (g.c.g)
$\Rightarrow $ PQ = IC và GQ = GI
Mà PQ = IC, IC = $\frac{1}{2}$BC; PN = BC $\Rightarrow $ PQ = $\frac{1}{2}$PN hay PQ = QN
Vậy MQ là trung tuyến thuộc cạnh PN của $\Delta $PNM
3.
Ta có:
AM = $\frac{1}{2}$BC
CM = MB = $\frac{1}{2}$BC
$\Rightarrow $ AM = MC = MB
$\Delta $AMB có: MA = MB nên $\Delta $AMB cân tại M $\Rightarrow \widehat{A_{1}}=\widehat{B}$
$\Delta $AMC có: MA = MC nên $\Delta $AMC cân tại M $\Rightarrow \widehat{A_{2}}=\widehat{C}$
$\Rightarrow \widehat{A_{1}}+\widehat{A_{2}}=\widehat{B}+\widehat{C}$
Mà $\widehat{A_{1}}+\widehat{A_{2}}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{A_{1}}+\widehat{A_{2}}=\widehat{B}+\widehat{C}=90^{\circ}$
Vậy $\widehat{BAC}=90^{\circ}$
4.
a) Trên tia đối của tia IA lấy điểm D sao cho ID = IA
Xét $\Delta $BID và $\Delta $CIA có:
BI = IC
ID = IA
$\widehat{BID}=\widehat{CIA}$
$\Rightarrow $ $\Delta $BID = $\Delta $CIA (c.g.c)
$\Rightarrow $ BD = AC
Trong $\Delta $ABC có: AB - BD < AD < AB + BD
Thay AD = 2AI ta được:
AB - AC < 2AI < AB + AC
$\Leftrightarrow \frac{AB-AC}{2}<AI<\frac{AB+AC}{2}$
b) Tương tự với đường trung tuyến BE, ta có: BE < $\frac{AB+BC}{2}$
Tương tự với đường trung tuyến CF, ta có: CF < $\frac{AC+BC}{2}$
$\Rightarrow AI + BE + CF < \frac{AB+AC+AB+BC+AC+BC}{2}$
$\Leftrightarrow $ AI + BE + CF < AB + AC + BC
Xét $\Delta $BHG có GB + GC > BC. Hay $\frac{2}{3}BE + \frac{2}{3}CF>BC$
$\Rightarrow BE+CF>\frac{3}{2}BC$
Tương tự ta có: $BE+AI>\frac{3}{2}AB$
$AI+CF>\frac{3}{2}AC$
$\Rightarrow $ 2(AI+BE+CF) > $\frac{3}{2}$(AB+AC+BC)
$\Leftrightarrow $ AI+BE+CF > $\frac{3}{4}$(AB+AC+BC)
Vậy $\frac{3}{4}C_{\Delta ABC}$ < BE + CF + AI < $C_{\Delta ABC}$