1. Cho hình dưới biết AE $\perp $ EF; BF $\perp $ EF và $\widehat{EAC}=35^{\circ}$; $\widehat{CBF}=50^{\circ}$. Tính số đo $\widehat{ACB}$.
2. Cho $\Delta $ABC có $\widehat{A}=90^{\circ}$. Từ A hạ AH $\perp $ BC kẻ tia AM là tia phân giác của $\widehat{BAC}$. Biết $\widehat{HAM}=15^{\circ}$. Tìm số đo của các góc $\widehat{B}$ và $\widehat{C}$
3. Cho góc $\widehat{xOy}=90^{\circ}$. Từ điểm A trên Ox và điểm B trên Oy vẽ các tia Am và Bn về phía trong của góc vuông sao cho góc $\widehat{xAm}=\widehat{OAB}$ và $\widehat{yBn}=\widehat{OBA}$. Chứng minh rằng Am // Bn
4. Hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại E. Các tia phân giác của góc $\widehat{ACD}$ và $\widehat{ABD}$ cắt nhau tại K. Chứng minh rằng $\widehat{BKC}=\frac{1}{2}(\widehat{CAE}+\widehat{BDE})$
5. Cho $\Delta $ABC và điểm M nằm trong tam giác:
a) Chứng minh: $\widehat{BMC}=\widehat{A}+\widehat{ABM}+\widehat{ACM}$
b) Biết số đo: $\widehat{ABM}+\widehat{ACM}=90^{\circ}-\frac{\widehat{A}}{2}$ và tia BM là tia phân giác của góc $\widehat{B}$. Chứng minh tia CM cũng là tia phân giác của góc $\widehat{C}$
Bài Làm:
1.
Xét $\Delta AEC$ vuông tại E vậy $\widehat{EAC}+\widehat{ACE}=90^{\circ}$ (hai góc nhọn phụ nhau) hay $35^{\circ}+\widehat{ACE}=90^{\circ}\Rightarrow \widehat{ACE}=55^{\circ}$
- Xét $\Delta $BFC vuông tại F vậy: $\widehat{CBF}+\widehat{BFC}=90^{\circ}$ (hai góc nhọn phụ nhau) hay $50^{\circ}+\widehat{BCF}=90^{\circ}\Rightarrow \widehat{BCF}=40^{\circ}$
Mà $\widehat{ACE}+\widehat{ACB}+\widehat{BCF}=180^{\circ}$ (C, E, F thẳng hàng) nên ta có:
$55^{\circ}+\widehat{ACB}+40^{\circ}=180^{\circ}\Rightarrow \widehat{ACB}=85^{\circ}$
2.
Xét $\Delta $AHM có $\widehat{H}=90^{\circ}; \widehat{MAH}=15^{\circ}$ (giả thiết)
Vậy $\widehat{AMH}=90^{\circ}-15^{\circ}=75^{\circ}$
Xét $\Delta $AMC có $\widehat{MAC}=45^{\circ}$ (MA là tia phân giác của góc vuông); $\widehat{AMH}=75^{\circ}$
Vậy $\widehat{C}=180^{\circ}-(\widehat{MAC}+\widehat{AMH})=180^{\circ}-(45^{\circ}+75^{\circ})=60^{\circ}$
Mà $\Delta $ABC vuông tại A nên $\widehat{B}+\widehat{C}=90^{\circ}$ (hai góc nhọn), hay:
$\widehat{B}+60^{\circ}=90^{\circ}\Rightarrow \widehat{B}=30^{\circ}$
3.
Do x, A, O thẳng hàng nên $\widehat{xAm}+\widehat{mAB}+\widehat{BAO}=180^{\circ}$
Mà $\widehat{xAm}=\widehat{BAO}$ (giả thiết)
$\Rightarrow 2\widehat{BAO}+\widehat{mAB}=180^{\circ}$ (1)
Do O, B, y thẳng hàng nên $\widehat{yBn}+\widehat{nAB}+\widehat{ABO}=180^{\circ}$
Mà $\widehat{yBn}=\widehat{ABO}$ (giả thiết)
$\Rightarrow 2\widehat{ABO}+\widehat{nBA}=180^{\circ}$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow 2(\widehat{BAO}+\widehat{ABO})+\widehat{mAB}+\widehat{nBA}=360^{\circ}$
Mà $\widehat{BAO}+\widehat{ABO}=90^{\circ}$ (hai góc nhọn của tam giác vuông)
Do đó $2.90^{\circ}+\widehat{mAB}+\widehat{nBA}=360^{\circ}$
Suy ra $\widehat{mAB}+\widehat{nBA}=180^{\circ}$
Mà chúng là hai góc trong cùng phía nên Am // Bn.
4.
CK cắt AB tại I, BK cắt CD tại F.
Xét $\Delta $AIC và $\Delta $KIB có: $\widehat{I_{1}}=\widehat{I_{2}}$ (hai góc đối đỉnh)
$\Rightarrow \widehat{A}+\widehat{C_{1}}=\widehat{K}+\widehat{B_{1}}\Rightarrow \widehat{K}=\widehat{A}+\widehat{C_{1}}-\widehat{B_{1}}=\widehat{A}+\frac{\widehat{C}}{2}-\frac{\widehat{B}}{2}$ (1)
Xét $\Delta $BFD và $\Delta $KFC có: $\widehat{F_{1}}=\widehat{F_{2}}$ (hai góc đối đỉnh)
$\Rightarrow \widehat{D}+\widehat{B_{2}}=\widehat{K}+\widehat{C_{2}}\Rightarrow \widehat{K}=\widehat{D}+\widehat{B_{2}}-\widehat{C_{2}}=\widehat{D}+\frac{\widehat{B}}{2}-\frac{\widehat{C}}{2}$ (2)
Từ (1) và (2) ta có: $2\widehat{K}=\widehat{A}+\widehat{D}\Rightarrow \widehat{K}=\frac{\widehat{A}+\widehat{D}}{2}$
5.
a) Tia CM cắt AB tại I.
Xét $\Delta $BIM có: $\widehat{BMC}=\widehat{B_{1}}+\widehat{BIM}$ (góc ngoài của tam giác) (1)
Xét $\Delta $AIC có: $\widehat{BIC}=\widehat{C_{1}}+\widehat{A}$ (góc ngoài của tam giác) (2)
Thay (2) vào (1) ta có:
$\widehat{BMC}=\widehat{B_{1}}+\widehat{A}+\widehat{C_{1}}\Rightarrow \widehat{BMC}=\widehat{A}+\widehat{ABM}+\widehat{ACM}$ (3)
b) Theo giả thiết có $\widehat{ACM}=90^{\circ}-\frac{\widehat{A}}{2}$ (4)
Thay (4) vào (3) ta có: $\widehat{BMC}=\widehat{A}+90^{\circ}-\frac{\widehat{A}}{2}=90^{\circ}+\frac{\widehat{A}}{2}$
Xét $\Delta $BMC có: $\widehat{C_{2}}=180^{\circ}-(\widehat{BMC}+\widehat{B_{2}})$
Mà $\widehat{B_{2}}=\frac{\widehat{B}}{2}; \widehat{BMC}=90^{\circ}-\frac{\widehat{A}}{2}$ (theo chứng minh trên)
Suy ra $\widehat{C_{2}}=180^{\circ}-\left ( 90^{\circ}+\frac{\widehat{A}}{2}+\frac{\widehat{B}}{2} \right )=90^{\circ}-\frac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2} = 90^{\circ}-\frac{180^{\circ}-\widehat{C}}{2}=\frac{\widehat{C}}{2}$
Vậy CM là tia phân giác của góc $\widehat{C}$