1. Cho $\Delta $ABC cân tại A có góc $\widehat{A}=36^{\circ}$. Vẽ tia phân giác BE của góc $\widehat{B}$ (E thuộc AC). So sánh BE với AE và BC
2. Cho $\Delta $ABC cân tại A, góc $\widehat{A}$ nhọn. Trên tia đối của tia BC lấy điểm E saoa cho EA = EC. Qua C kẻ đường thẳng Cx song song với AE và lấy trên Cx điểm F sao cho 2 điểm E và F thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ có chứa AC và CF = BE. Chứng minh $\Delta $EAF cân.
3. Cho $\Delta $ABC đều, trên tia đối của tia BA lấy điểm D. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E. Trên tia đối của tia CB lấy điểm F. Sao cho BD = AE = CF. Chứng minh $\Delta $DEF đều.
4. Cho $\widehat{xOy} = 120^{\circ}$ kẻ tia Oz là tia phân giác của góc $\widehat{xOy}$. Trên Ox lấy điểm A, trên Oz lấy điểm B và trên tia Oy lấy điểm C sao cho OA = OB = OC. Chứng minh rằng:
a) OA // CB; OC // AB
b) OB $\perp $ AC
Bài Làm:
1.
Xét $\Delta $ABC có: $\widehat{A}=36^{\circ}\Rightarrow \widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}-36^{\circ}=144^{\circ}$
Ta có: $\Delta $ABC cân tại A nên $\widehat{B}=\widehat{C}=72^{\circ}$
Mà $\widehat{ABE}=\frac{1}{2}\widehat{B}$ (BE là tia phân giác của $\widehat{B}$) nên $\widehat{ABE}=36^{\circ}$
$\Delta $ABE có $\widehat{A}=\widehat{ABE}=36^{\circ}$ nên $\Delta $ABE cân tại E $\Rightarrow $ AE = BE (1)
Xét $\Delta $BEC có: $\widehat{B_{2}}=36^{\circ}$; $\widehat{C}=72^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{BEC}=72^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{BEC}=\widehat{C}=72^{\circ}$
$\Rightarrow \Delta $BEC cân tại B $\Rightarrow $ BE = BC (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow $ AE = BE = BC
2.
Ta có:
$\widehat{EAC}=\widehat{C_{1}}$ (AE // Cx)
$\widehat{EAC}=\widehat{C_{2}}$ ($\Delta $AEC cân tại E)
$\Rightarrow \widehat{C_{1}}=\widehat{C_{2}}$
Mà $\widehat{C_{2}}=\widehat{B_{1}}$ ($\Delta $ABC cân)
$\Rightarrow \widehat{C_{1}}=\widehat{B_{1}}$ (1)
Mà lại có $\widehat{EBA}+\widehat{B_{1}}=180^{\circ}$ (E, B, C thẳng hàng) (2)
$\widehat{FCA}+\widehat{C_{1}}=180^{\circ}$ (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra $\widehat{EBA}=\widehat{FCA}$
Xét $\Delta $BEA và $\Delta $CFA có:
- AB = AC
- $\widehat{EBA}=\widehat{FCA}$
- BE = CF
$\Rightarrow $ $\Delta $BEA = $\Delta $CFA
$\Rightarrow $ EA = FA
Do đó $\Delta $EAF cân tại A
3.
Ta có: AD = AB + BD
CE = AC + CF
AB = AC, BD = CF
$\Rightarrow $ AD = CE
Lại có:
$\widehat{EAD}+\widehat{A}=180^{\circ}$ (C1, A1, E thẳng hàng)
$\widehat{FCE}+\widehat{C}=180^{\circ}$ (B1, C1, F thẳng hàng)
$\widehat{A}=\widehat{C}=60^{\circ}$ ($\Delta $ABC đều)
$\Rightarrow \widehat{EAD}=\widehat{FCE}=120^{\circ}$
- Xét $\Delta $ADE và $\Delta $CEF có
- AE = CF
- AD = CE
- $\widehat{EAD}=\widehat{FCE}$
$\Rightarrow $ $\Delta $ADE = $\Delta $CEF (c.g.c)
$\Rightarrow $ ED = EF.
Vậy $\Delta $EDF cân tại E.
Xét $\Delta $ADE có:
$\widehat{D_{1}}=\widehat{E_{2}}$ ($\Delta $ADE = $\Delta $CEF)
$\widehat{EAD}=120^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{E_{1}}+\widehat{D_{1}} = 180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{E_{1}}+\widehat{E_{2}} = 60^{\circ}$. Hay $\widehat{DEF}= 60^{\circ}$
$\Delta $DEF cân có một góc bằng $60^{\circ}$ nên $\Delta $DEF đều.
4.
a) Xét $\Delta $AOB và $\Delta $BOC có:
- OA = OB = OC (giả thiết)
- $\widehat{O_{1}}=\widehat{O_{2}}=60^{\circ}$ (Oz là tia phân giác)
$\Rightarrow $ $\Delta $AOB và $\Delta $BOC là hai tam giác đều.
+) $\widehat{O_{1}}=\widehat{B_{1}}=60^{\circ}$. Mà chúng là hai góc so le trong
$\Rightarrow $ OA // CB
+) $\widehat{O_{2}}=\widehat{B_{2}}=60^{\circ}$. Mà chúng là hai góc so le trong
$\Rightarrow $ OC // AB
b) Xét $\Delta $COI và $\Delta $AOI có:
- OI là cạnh chung
- $\widehat{O_{1}}=\widehat{O_{2}}$
- OA = OC
$\Rightarrow $ $\Delta $COI = $\Delta $AOI (c.g.c)
$\Rightarrow $ $\widehat{OIC}=\widehat{OIA}$
Mà $\widehat{OIC}+\widehat{OIA}=180^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{OIC}=\widehat{OIA}=90^{\circ}$
$\Rightarrow $ OB $\perp $ CA