1. Cho $\Delta $ABC có góc A tù. Từ A hạ AH $\perp $ BC (H thuộc BC). Biết AB = 29cm; AC = 40cm và AH = $\frac{1}{2}$AC. Tính BH và HC.
2. Chứng minh rằng trong tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng $30^{\circ}$ thì cạnh đối diện với góc đó có độ dài bằng nửa cạnh huyền.
3. Để làm một kèo nhà bằng sắt để hợp mái tôn sao cho có độ dốc vừa phải. Người thợ thiết kế kèo hình tam giác $\Delta $ABC cân (AB = AC) có thanh AH được hàn vuông góc với thanh BC. Thanh HK được hàn vuông góc với thanh AC. Biết góc $\widehat{ACH}=30^{\circ}$ và AH = 2cm. Tính độ dài các cạnh : AK, KC, HK và HC.
4. Cho $\Delta $ABC vuông tại A. Từ điểm M là trung điểm của cạnh AC hạ MN $\perp $ BC (N thuộc BC). Chứng minh rằng Nếu AB > AC thì $NB^{2}-NC^{2}=AB^{2}$
5. Cho $\Delta $ABC vuông tại A. Từ điểm A hạ AH $\perp $ BC (H thuộc BC).
a) Chứng minh rằng $\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}$
b) Biết BC = 10cm, AC = 8cm. Tính độ dài của AH.
Bài Làm:
1.
Ta có AH = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$.40 = 20 (cm)
Áp dụng định lí Py-ta-go cho các tam giác $\Delta $ABH và $\Delta $ACH ta tính được BH = 21cm; CH = 20$\sqrt{3}$cm.
2.
Ta xét $\Delta $ABC vuông tại B có $\widehat{A}=30^{\circ}$ ta phải chứng minh BC = $\frac{1}{2}$AC.
Thật vậy: trên tia đối của tia BC lấy điểm E sao cho BE = BC.
Xét $\Delta $ABC và $\Delta $ABE là hai tam giác vuông tại B có
AB chung
BC = BE
$\Rightarrow $ $\Delta $ABC = $\Delta $ABE
$\Rightarrow $ AC = AE và $\widehat{A_{1}}=\widehat{A_{2}}=30^{\circ}$
Có $\widehat{CAE}=\widehat{A_{1}}+\widehat{A_{2}}=60^{\circ}$
Xét $\Delta $ACE có AC = AE và $\widehat{CAE}=60^{\circ}$ nên $\Delta $ACE là tam giác đều.
Do đó CE = AC = 2BC (đpcm)
3.
Ta có $\Delta $AHC vuông tai H có $\widehat{C}=30^{\circ}$ (giả thiết)
$\Rightarrow \widehat{HAK}=60^{\circ}$
$\Delta $AHK có $\widehat{HAK}=60^{\circ}\Rightarrow \widehat{AHK}=30^{\circ}$
do đó AK = $\frac{1}{2}$AH (cạnh đối diện góc $30^{\circ}$ trong tam giác vuông)
$\Rightarrow AK = \frac{1}{2}.2=1$ (cm)
AH = $\frac{1}{2}$AC (cạnh đối diện góc $30^{\circ}$ trong tam giác vuông)
$\Rightarrow \frac{1}{2}AC=2\Rightarrow AC = 4$ (cm)
Vậy KC = AC - AK = 4 - 1 = 3 (cm)
Áp dụng định lí Py-ta-go trong $\Delta $AHK vuông ta có:
$HK^{2}=AH^{2}-AK^{2}=2^{2}-1^{2}=3$
$\Rightarrow HK=\sqrt{3}$ (cm)
$\Delta $HKC có $\widehat{K}=90^{\circ}; \widehat{C}=30^{\circ}$ suy ra HK = $\frac{1}{2}$HC
Hay $\frac{1}{2}HC=\sqrt{3}\Rightarrow HC=2\sqrt{3}$
Vậy AK = 1cm; KC = 3cm; HK = $\sqrt{3}$cm; HC = 2$\sqrt{3}$cm
4.
Xét $\Delta $MBN vuông tại N, theo định lí Py-ta-go ta có:
$MB^{2}=MN^{2}+NB^{2}$ (1)
Xét $\Delta $CMN vuông tại N, theo định lí Py-ta-go ta có:
$MC^{2}=MN^{2}+CN^{2}$ (2)
Lấy (1) trừ (2) ta được:
$MB^{2}-MC^{2}=NB^{2}-CN^{2}$ (3)
Mà MC = MA (4)(giả thiết)
Thay (4) vào (3), ta được: $MB^{2}-MA^{2}=NB^{2}-NC^{2}$
Trong $\Delta $ABM vuông tại A ta có: $AB^{2}=MB^{2}-MA^{2}$ (6)
Thay (6) vào (5), ta có: $AB^{2}=NB^{2}-NC^{2}$
5.
a) Ta có:
$S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}AB.AC$
$S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}AH.BC$
$\Rightarrow $ AB.AC = AH.BC
Hay $AH = \frac{AB.AC}{BC}\Rightarrow \frac{1}{AH}=\frac{BC}{AB.AC}$
$\Rightarrow \frac{1}{AH^{2}}=\frac{BC^{2}}{AB^{2}.AC^{2}}$
$\Delta $ABC vuông tại A, theo định lí Py-ta-go ta có: $AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$
$\Rightarrow \frac{1}{AH^{2}}=\frac{AB^{2}+AC^{2}}{AB^{2}.AC^{2}}=\frac{AB^{2}}{AB^{2}.AC^{2}}+\frac{AC^{2}}{AB^{2}.AC^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}$
Vậy $\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}$ (*)
b) Từ $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2} \Rightarrow 10^{2}=AB^{2}+8^{2}$
$\Rightarrow AB^{2}=36\Rightarrow AB=6$
Thay vào hệ thức (*) ta có:
$\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{8^{2}}+\frac{1}{6^{2}}$
$\Rightarrow $ AH = 4,8 (cm)