5. Cho hai đường tròn (O) và (O') ở ngoài nhau. Kẻ các tiếp tuyến chung ngoài AB và CD với A, C thuộc (O) và B, D thuộc (O') (hình 7.9).
a, Chứng minh rằng AB và CD đối xứng với nhau qua OO'.
b, Tiếp tuyến chung trong GH cắt AB và CD theo thứ tự tại E và F với G thuộc (O), H thuộc (O'). Chứng minh rằng AE = EG và EB = EH.
c, Chứng minh rằng EG = FH, AB = EF.
Bài Làm:
a, A và B đối xứng với nhau qua OO'
C và D đối xưng với nhau qua OO'
=> AB cà CD đối xứng với nhau qua OO'
b, AE và EG là hai tiếp tuyến cắt nhau tại E của đường tròn (O)
=> AE = EG (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn)
EB và EH là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (O')
=> EB = EH (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn)
c, Ta có: EG + EH = AE + EB = AB (vì EG = AE và EH = EB)
<=> EG + EG + GH = AB
<=> 2EG + GH = AB (1)
+ Ta có: HF + FG = FD + FC = CD (Do tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: FD = FH và FG = FC)
<=> HF + HF + GH = CD
<=> 2HF + GH = CD (2)
Mà AB = CD (AB và CD đối xứng nhau qua OO')
=> 2HF + GH = 2EG + GH
=> HF = EG
+ Lấy (1) + (2) ta có:
2EG + GH + 2HF + GH = AB + CD
<=> 2.(EG + HF + GH) = 2.AB
<=> 2.EF = 2 AB
=> EF = AB
