4. Cho hai đường tròn (O) và (O') có cùng bán kính. Gọi A, B là giao điểm của hai đường tròn. Qua A kẻ đường thẳng cắt đường tròn (O) tại D và cắt đường tròn (O') tại E. Gọi I là giao điểm của AB và OO'.
a, Chứng minh rằng I là trung điểm của AB.
b, Chứng minh tứ giác OAO'B là hình thoi.
c, Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của O và O' trên DE. Chứng minh rằng tam giác HIK cân tại I.
d, Chứng minh rằng HI = $\frac{BD}{2}$
e, Chứng minh rằng tam giác BDE cân tại B.
Bài Làm:
a, Ta có: O'A = OA (= bán kính của đường tròn (O')
OA = OB (= bán kính của đường tròn (O))
=> OO' là trung trực của AB
=> I là trung điểm của AB.
b, Xét tam giác OAO' có OA = O'A ((O) và (O') có cùng bán kính)
=> Tam giác OAO' cân tại A
Mà AI $\perp $ OO' (OO'là trung trực của AB) => AI là đường trung trực ứng với cạnh OO' => I là trung diểm của OO'
Xét tứ giác OAO'B có hai đường chéo AB và OO' vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường
=> Tứ giác OAO'B là hình thoi.
c, OH $\perp $ DE và O'K $\perp $ DE => O'K // OH
=> Tứ giác O'KHO là hình thang.
+ Kẻ IM vuông góc với DE (M thuộc DE)
=> IM // OH // O'K
=> IM là đường trung bình của hình thang O'KHO
=> M là trung điểm của HK
+ Xét tam giác IMH và tam giác IMK có:
- IM chung
- MK = MH
- $\widehat{IMH}=\widehat{IMK}=90^{0}$
=> $\Delta $IMH = $\Delta $IMK (c.g.c)
=> IH = IK
+ Xét tam giác HIK có IH = IK => Tam giác HIK cân tại I.
d, OH $\perp $ DE => OH $\perp $ AD
=> H là trung điểm của AD (tính chất đường kính và dây của đường tròn)
+ Xét tam giác ADB có:
- I là trung diểm của AB
- H là trung điểm của AD
=> HI là đường trung bình của tam giác ADB
=> HI = $\frac{BD}{2}$ (Tính chất đường trung bình của tam giác)
e, O'K $\perp $ DE => O'K $\perp $ AE
Mà AE là dây cung của đường tròn tâm O' => K là trung điểm của AE (tính chất đường kính và dây của đường tròn)
+ Xét tam giác ABE có:
- I là trung điểm của AB
- K là trung điểm của AE
=> IK là đường trung bình của tam giác ABE
=> IK = $\frac{BE}{2}$ (Tính chất đường trung bình của tam giác)
+ Ta có: IH = IK (chứng minh ở phần c)
=> $\frac{BD}{2}$ = $\frac{BE}{2}$
<=> BD = BE
+ Xét tam giác BDE có BD = BE => Tam giác BDE cân tại B.
