Câu 7: Trang 126 - SGK Hình học 11
Cho hình thang \(ABCD\) vuông tại \(A\) và \(B\), có \(AD = 2a, AB = BC = a\). Trên tia \(Ax\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\) lấy một điểm \(S\). Gọi \(C',D'\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(SC\) và \(SD\) . Chứng minh rằng :
a) \(\widehat {SBC} = \widehat {SC{\rm{D}}} = {90^0}\)
b) \(AD’, AC’\) và \(AB\) cùng nằm trên một mặt phẳng.
c) Chứng minh rằng đường thẳng \(C’D’\) luôn luôn đi qua một điểm cố định khi \(S\) di động trên tia Ax.
Bài Làm:
a) Chứng minh $\widehat{SBC}=90^0$
Ta có: \(\left. \matrix{
SA \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right) \hfill \cr
AB \bot BC \hfill \cr} \right\} \Rightarrow SB \bot BC\) (định lí 3 đường vuông góc)
\( \Rightarrow \widehat {ABC} = {90^0}\)
Gọi \(K\) là trung điểm của \(AD\).
\(ABCK\) là hình vuông nên \(CK = a \Rightarrow CK = {1 \over 2}A{\rm{D}}\)
Tam giác ACD có trung tuyến CK bằng \({1 \over 2}\) cạnh tương ứng nên ACD là tam giác vuông tại C
=> AC $\perp $ CD
\(\left. \matrix{
SA \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right) \hfill \cr
AC \bot C{\rm{D}} \hfill \cr} \right\} \Rightarrow SC \bot C{\rm{D}}\) (định lí 3 đường vuông góc)
\(\Rightarrow \widehat {SC{\rm{D}}} = {90^0}\)
b) Ta có :
\(\left. \matrix{
AB \bot SA \hfill \cr
AB \bot A{\rm{D}} \hfill \cr} \right\} \Rightarrow \left. \matrix{
AB \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right) \hfill \cr
S{\rm{D}} \subset \left( {SA{\rm{D}}} \right) \hfill \cr} \right\} \Rightarrow AB \bot S{\rm{D}}(1)\)
\(\left. \matrix{
C{\rm{D}} \bot AC \hfill \cr
C{\rm{D}} \bot SC \hfill \cr} \right\} \Rightarrow \left. \matrix{
C{\rm{D}} \bot \left( {SAC} \right) \hfill \cr
AC' \subset \left( {SAC} \right) \hfill \cr} \right\} \Rightarrow AC' \bot C{\rm{D}}\)
Kết hợp với AC’ $\perp $ SC suy ra AC' $\perp $ (SCD)
Vậy
\(\left. \matrix{
AC' \bot \left( {SC{\rm{D}}} \right) \hfill \cr
S{\rm{D}} \subset \left( {SC{\rm{D}}} \right) \hfill \cr} \right\} \Rightarrow AC' \bot S{\rm{D(2)}}\)
Giả thiết cho AD’ $\perp $ SD (3)
Từ (1), (2), (3) ta thấy ba đường thẳng AB, AD’, AC’ cùng vuông góc với SC. Vậy chúng cùng nằm trong mặt phẳng ( P) đi qua A và vuông góc với SC.
c) Gọi I là giao điểm của C’D’ với AB.
\(I ∈ C’D’ ⇒ I ∈ (SCD)\)
\(I ∈ AB ⇒ I ∈ (ABCD)\)
⇒ I là giao điểm của hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD)
Hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến CD. Như vậy ba đường thẳng AB, CD, C’D’ đồng quy tại I và AB, CD cố định suy ra I cố đinh.
Khi S chạy trên Ax thì C’D’ luôn đi qua điểm cố định là giao điểm I của AB và CD