Câu 6: Trang 126 - SGK Hình học 11
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng \(a\).
a) Hãy xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau BD' và B'C.
b)Tính khoảng cách của hai đường thẳng BD' và B'C
Bài Làm:
a) \(AB ⊥ (BCC’B’) ⇒ AB ⊥ B’C\)
\(BCC’B’\) là hình vuông có \(BC’ ⊥ B’C\)
\(⇒ B’C ⊥ (ABC’D’)\)
Trong mặt phẳng \((ABC’D’)\) ta kẻ \(IK ⊥ BD’\) (1)
Vì \(B’C ⊥ (ABC’D’),IK\subset (ABC'D') ⇒ B’C ⊥ IK\) (2)
Từ (1) (2) IK là đường vuông góc chung của B'C và BD'.
b) Gọi O là trung điểm BD' => OI là đường trung bình trong tam giác BC'D'.
=> OI = $\frac{1}{2}$.C'D'=$\frac{a}{2}$
BB'C'C là hình vuông cạnh a => đường chéo BC' = $a\sqrt{2}$
Vì I là trung điểm BC' => IB = $\frac{1}{2}$.BC'=$\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Vì OI // C'D' (cmt) mà C'D' $\perp $ (BB'C'C) => OI $\perp $ (BB'C'C)
=> OI $\perp $ BI => tam giác OIB vuông tại I. Lại có: IK là đường cao
=> $\frac{1}{KI^2}=\frac{1}{OI^2}+\frac{1}{IB^2}$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
=> $\frac{1}{KI^2}=\frac{1}{(\frac{a}{2})^2}+\frac{1}{(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2}=\frac{4}{a^2}+\frac{2}{a^2}=\frac{6}{a^2}$
=> $KI=\frac{a\sqrt{6}}{6}$