Giải Câu 2 Bài Ôn tập cuối năm

a) Vì $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$ nên ta có:

    \(\eqalign{
& \overrightarrow {GA'} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GA} ; \cr 
& \overrightarrow {GB'} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GB} ; \cr 
& \overrightarrow {GC'} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GC} \cr}\).

    Vậy phép vị tự tâm \(G\) tỉ số \(k =  - {1 \over 2}\) biến \(A, B, C\) thành \(A’, B’, C’\).

b) Vì: \(A’\) là trung điểm của \(BC\) (gt) nên \(OA’ ⊥ BC\) (trong đường tròn (O), đoạn nối tâm với trung điểm dây cung thì vuông góc với dây cung đó)

    Ta lại có \(BC // C’B’\) (định lý Talet trong tam giác ABC)

    nên \(OA’ ⊥ B’C’ ⇒\) Trong tam giác \(A’B’C’\) thì \(OA’\) là đường cao kẻ từ đỉnh \(A’\).

    Tương tự, \(OB’\) là đường cao kẻ từ \(B’\), suy ra \(O\) là trực tâm của \(∆A’B’C’\).

    Lại có: \(H\) là trực tâm của \(∆ABC\) và \(O\) là trực tâm của \(∆A’B’C’\), $\Delta A'B'C'$ là ảnh của $\Delta ABC$ qua phép vị tự tâm $G$, tỉ số $k=\frac{-1}{2}$

    nên \(O\) là ảnh của \(H\) trong phép vị tự tâm \(G\), tỉ số \(k =  - {1 \over 2}\)

    => \(\overrightarrow {GO}  =  - {1 \over 2}\overrightarrow {GH} \) 

     \(⇒\) Ba điểm \(O, G, H\) thẳng hàng

c) Gọi \(O’\) là ảnh của \(O\) trong phép vị tự \({V_{\left( {G; - {1 \over 2}} \right)}}\) ta có:

     \(\eqalign{
& \overrightarrow {GO'} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GO} \cr 
& \overrightarrow {GO} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GH} \to \overrightarrow {OG} = {1 \over 2}\overrightarrow {GH} \cr 
& \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GO'} = {1 \over 2}\overrightarrow {GH} - {1 \over 2}\overrightarrow {GO} \cr 
& \Rightarrow \overrightarrow {OO'} = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {GH} - \overrightarrow {GO} } \right) \cr 
& \Rightarrow \overrightarrow {OO'} = {1 \over 2}\overrightarrow {OH} \cr} \) 

     Đẳng thức này chứng tỏ điểm \(O’\) là trung điểm của đoạn thẳng \(OH\)

     Vậy ảnh của $O$ qua phép vị tự tâm \(G\), tỉ số \(k =  - {1 \over 2}\) là $O'$ trung điểm của $OH$.

d)

 

      Vì \(A”, B”, C”\) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \(AH, BH, CH\) 

    => \(\eqalign{& \overrightarrow {HA''} = {1 \over 2}\overrightarrow {HA} \cr & \overrightarrow {HB''} = {1 \over 2}\overrightarrow {HB} \cr & \overrightarrow {HC''} = {1 \over 2}\overrightarrow {HC} \cr} \) 

      Vậy \(A”, B”, C”\) là ảnh của các điểm \(A, B, C\) trong phép vị tự \({V_{\left( {H;{1 \over 2}} \right)}}\) (1)

      Ta dễ dàng chứng minh được \(A_1',B_1',C_1'\) theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng \(H{A_1},H{B_1},H{C_1}\) nên:

   \(\eqalign{
& \overrightarrow {H{A_1}'} = {1 \over 2}\overrightarrow {H{A_1}} \cr 
& \overrightarrow {H{B_1}'} = {1 \over 2}\overrightarrow {H{B_1}} \cr 
& \overrightarrow {H{C_1}'} = {1 \over 2}\overrightarrow {H{C_1}} \cr} \) 

    Như vậy \(A_1',B_1',C_1'\) theo thứ tự là ảnh của các điểm \(A_1, B_1, C_1\) trong phép vị tự \({V_{\left( {H;{1 \over 2}} \right)}}\) (2)

    Từ (1) (2), ảnh của \(A, B, C\), \(A_1, B_1, C_1\) qua phép vị tự tâm \(H\) tỉ số \({1 \over 2}\) lần lượt là \(A”, B”, C”\),\(A_1',B_1',C_1'\)

e) Gọi \(A_2, B_2, C_2\) theo thứ tự là các điểm xuyên tâm đối của các điểm \(A, B, C\) qua tâm \(O\) của đường tròn.

    Ta chứng minh được tứ giác \(BHCA_2\) là hình bình hành, do đó \(H\) và \(A_2\) đối xứng qua \(A’\), ta có:

    \(\eqalign{
& \overrightarrow {HA'} = {1 \over 2}\overrightarrow {H{A_2}} \cr 
& \overrightarrow {HB'} = {1 \over 2}\overrightarrow {H{B_2}} \cr 
& \overrightarrow {HC'} = {1 \over 2}\overrightarrow {H{C_2}} \cr} \)

    Như vậy, các điểm \(A’, B’, C’\) theo thứ tự là ảnh của các điểm \(A_2, B_2, C_2\) trong phép vị tự \({V_{\left( {H;{1 \over 2}} \right)}}\) (3)

     Từ (1), (2), (3) ta có:

     Chín điểm \(A’, B’,C’,A”, B”,C”\), \(A_1',B_1',C_1'\) theo thứ tự là ảnh của các điểm \(A,B,C,{A_1},{B_1},{C_1},{A_2},{B_2},{C_2}\) trong phép tự vị \({V_{\left( {H;{1 \over 2}} \right)}}\) 

     mà chín điểm \(A,B,C,{A_1},{B_1},{C_1},{A_2},{B_2},{C_2}\) nằm trên đường tròn \((O)\) nên chín điểm \(A,B,C,{A_1},{B_1},{C_1},{A_2},{B_2},{C_2}\) nằm trên đường tròn ảnh của đường tròn \((O)\) trong phép vị tự \({V_{\left( {H;{1 \over 2}} \right)}}\)