Câu 3: Trang 125 - SGK Hình học 11
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang với \(AB\) là đáy lớn. Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn \(AB\), \(E\) là giao điểm của hai cạnh của hình thang \(ABCD\) và \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ECD\).
a) Chứng minh rằng bốn điểm \(S, E, M, G\) cùng thuộc một mặt phẳng \((α)\) và mặt phẳng này cắt cả hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SBD)\) theo cùng một giao tuyến \(d\).
b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAD)\) và \((SBC)\).
c) Lấy một điểm \(K\) trên đoạn \(SE\) và gọi \(C'= SC ∩KB, D'=SD ∩ KA\). Chứng minh rằng hai giao điểm của \(AC'\) và \(BD'\) thuộc đường thẳng \(d\) nói trên.
Bài Làm:
a)
- Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(DB\); \(N\) là giao của \(EM\) và \(DC\).
\(M\) là trung điểm của \(AB\) => \(N\) là trung điểm của \(DC\) (vì \(ABCD\) là hình thang),
=> \(EN\) là trung tuyến tròn tam giác $\Delta ECD$
mà $G$ là trọng tâm $\Delta ECD$
=> $EN$ đi qua $G$ => $G \in EN$ mà $E,N,M$ thẳng hàng
nên ba điểm \(E, G, M\) thẳng hàng
Gọi \((\alpha)\) là mặt phẳng \((SEM)\)
Vậy 4 điểm $S,E,G,M$ cùng thuộc mặt phẳng $(\alpha )$.
- \(O\in MN\) \(\Rightarrow O\in(\alpha)\) và \(O \in AC \subset (SAC)\) nên \(O\) là giao điểm của hai mặt phẳng \((\alpha)\) và \((SAC)\)
\(\Rightarrow SO\) là giao tuyến của \((\alpha)\) và \((SAC)\). (1)
- Tương tự ta có: \(O\in MN\) \(\Rightarrow O\in(\alpha)\) và \(O \in BD \subset (SBD)\) nên \(O\) là giao điểm của hai mặt phẳng \((\alpha)\) và \((SBD)\)
\(\Rightarrow SO\) là giao tuyến của \((\alpha)\) và \((SBD)\). (2)
Từ (1) (2) suy ra $(\alpha )$ cắt hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ theo cùng một giao tuyến $d\equiv SO$
b) \(E = AD \cap BC \Rightarrow E \in AD \Rightarrow E \in (SAD)\)
\(E ∈ BC ⇒ E ∈ (SBC)\)
Vậy \(E\) là một điểm chung của hai mặt phẳng \((SAD)\) và \((SBC)\)
\(S\) là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng \((SAD)\) và \((SBC)\)
=> \(SE\) là giao tuyến của \((SAD)\) và \((SBC)\)
c) \(C'= SC ∩ KB ⇒ C' ∈ SC ⇒ C' ∈ (SAC)\)
\(⇒ AC' \subset (SAC)\)
Tương tự ta có: \(BD' \subset (SDB)\)
Mà hai đường thẳng \(AC’\) và \(BD’\) cùng thuộc mặt phẳng \((ABK)\) và $AC',BD'$ giao nhau tại điểm \(M\)
=> \(M ∈ AC’ ⇒ M ∈ (SAC)\)
\(M ∈ BD’ ⇒ M ∈ (SDB)\)
\(⇒ M\) là điểm chung của hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SDB)\) hay \(M ∈ d\)