Câu 5: Trang 92 - sgk đại số và giải tích 11
Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn dưới, dãy số nào bị chặn trên, dãy số nào bị chặn?
a) un = 2n2 -1;
b) un = \( \frac{1}{n(n+2)}\)
c) un = \( \frac{1}{2n^{2}-1}\);
d) un = sinn + cosn
Bài Làm:
a) un = 2n2 -1;
Ta có un = 2n2 -1 ≥ 1 với mọi n ε N*
=>Dãy số bị chặn dưới và không tồn tại một số M để un = 2n2 -1 ≤ M, nên dãy số không bị chặn trên.
b) un = \( \frac{1}{n(n+2)}\)
Ta thấy: un > 0 với mọi n ε N*
Ta có: n(n + 2) = n2 + 2n ≥ 3 => \( \frac{1}{n(n+2)}\) \( \leq \frac{1}{3}\).
=> 0 < un \( \leq \frac{1}{3}\) với mọi n ε N* =>dãy số bị chặn.
c) un = \( \frac{1}{2n^{2}-1}\);
Ta có: 2n2 - 1 > 0 => \( \frac{1}{2n^{2}-1}\) > 0
mà 2n2 - 1≥ 1 => \( u_{n}=\frac{1}{2n^{2}-1}\) ≤ 1.
=> 0 < un ≤ 1, với mọi n ε N* => Dãy số bị chặn.
d) un = sinn + cosn
Ta có: $u_n = \sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}sinn + \frac{\sqrt{2}}{2}cosn) = \sqrt{2}sin(n + \frac{\pi }{4})$, với mọi n.
=> $-\sqrt{2} ≤ sinn + cosn ≤ \sqrt{2}$ với mọi n ε N*
Vậy $-\sqrt{2} < u_n < \sqrt{2}$, với mọi n ε N* .