Bài Làm:
Câu 7: Bác An mua nhà trị giá 500 triệu đồng theo phương thức trả góp. Nếu cuối mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất bác An trả 10 triệu đồng và chịu lãi số tiền chưa trả là 0,5%/tháng. Hỏi ít nhất bao nhiêu tháng bác An có thể trả hết số tiền trên?
A. 57.
B. 56.
C. 55.
D. 58.
Giải: Đáp án D.
Số tiền vay của người đó là N (đồng), lãi suất m (%) trên tháng, số tháng vay là n, số tiền phải đều đặn trả vào ngân hàng hàng tháng là a (đồng). Khi đó $$a=\frac{N.y^{n}(y-1)}{y^{n}-1}, (y=1+\frac{m}{100}).$$
Áp dụng ta có $10=\frac{500(1+0,005)^{n}.0,005}{(1+0,005)^{n}-1} \Rightarrow n \approx 57,68 \Rightarrow 58$ tháng.
Câu 9: Người ta làm một chiếc phao bơi như hình vẽ (với bề mặt có được bằng cách quay đường tròn (C) quanh trục d). Biết rằng $OI=30 cm, R=5 cm$. Tính thể tích chiếc phao.
A. $V=1500 \pi ^{2} cm^{3}$.
B. $V=9000 \pi ^{2} cm^{3}$.
C. $V=1500 \pi cm^{3}$.
D. $V=9000 \pi cm^{3}$.
Giải: Đáp án A
Cách 1: Dựng hệ trục tọa độ Oxy thỏa mãn $d \subset Ox$. Ta có
$(C): x^{2}+(y-30)^{2}=25 $
$\Rightarrow \left[ \matrix{y=30+\sqrt{25-x^{2}} \hfill \cr y=30-\sqrt{25-x^{2}} \hfill \cr} \right.$
Khi đó $V=\pi \int_{-5}^{5}[(30+\sqrt{25-x^{2}})^{2}-(30-\sqrt{25-x^{2}})^{2}]dx=1500 \pi^{2}$.
Cách 2: Áp dụng công thức cái phao $V=2 \pi^{2}(\frac{R+r}{2})(\frac{R-r}{2})^{2}$ với R=35, r=25.
Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+2y+2z+18=0, M là điểm di chuyển trên mặt phẳng (P), N là điểm nằm trên tia OM sao cho $\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON}=24$. Tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng (P).
A. $\min d(N, (P))=0$.
B. $\min d(N, (P))=6$.
C. $\min d(N, (P))=4$.
D. $\min d(N, (P))=2$.
Giải: Đáp án D
N nằm trên tia OM nghĩa là N nằm trong OM. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của O, N lên (P).
Ta có $\frac{NK}{OH}=\frac{MN}{OM} \Rightarrow NK=OH. \frac{OM-ON}{OM}=6.(1-\frac{ON}{OM})=6(1-\frac{24}{OM^{2}}).$
NK nhỏ nhất khi $\frac{24}{OM^{2}}$ lớn nhất, nghĩa là OM nhỏ nhất, Suy ra $M \equiv H \Rightarrow OM=OH=6$.
Vậy $\min NK=6.(1-\frac{24}{36})=2$.
Câu 50: Cho số thực dương x, y thỏa mãn $\log (x+2y)=\log x+ \log y$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\sqrt[4] {e^{\frac{x^{2}}{1+2y}}}.e^{\frac{y^{2}}{1+x}}.$
A. $\min P=e^{\frac{5}{8}}$.
B. $\min P=e$.
C. $\min P= e^{\frac{8}{5}}$.
D. $\min P =e^{\frac{1}{2}}$.
Giải: Đáp án C.
$\log (x+2y)=\log (xy) \Leftrightarrow x+2y=xy>0 \Leftrightarrow \frac{x}{2}+y=\frac{x}{2}y \leq \frac{(\frac{x}{2}+y)^{2}}{4} \Rightarrow \frac{x}{2}+y \geq 4$
$P=\sqrt[4]{e^{\frac{x^{2}}{1+2y}}}.e^{\frac{y^{2}}{1+x}} \Rightarrow \ln P=\frac{x^{2}}{4(1+2y)}+\frac{y^{2}}{1+x}=\frac{(\frac{x}{2})^{2}}{1+2y}+\frac{y^{2}}{1+2.\frac{x}{2}} \geq \frac{(\frac{x}{2}+y)^{2}}{2(1+y+\frac{x}{2})}$.
Đặt $t=y+\frac{x}{2} \geq 4$. Ta có $\ln P \geq \frac{t^{2}}{2(t+1)}$.
Khảo sát hàm số ta có $\ln P \geq f(t) \geq f(4)=\frac{8}{5}$
Vậy $\min P= e^{\frac{8}{5}}$.