Bài Làm:
Câu 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ 0xyz, cho mặt phẳng (P): $2x-y-2z+1=0$ và ba điểm $A(1,-2,0), B(1,0,-1), C(0,0,-2)$. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng (P) và tiếp xúc với ba đường thẳng AB, AC, BC?
A. 1 mặt cầu.
B. Vô số mặt cầu.
C. 4 mặt cầu.
D. 2 mặt cầu.
Giải: Đáp án C
Phương trình mặt phẳng (ABC): 2x-y-2z-4=0
Giả sử mặt cầu cần tìm có tâm I, bán kính R.
Gọi H, K, T, J lần lượt là hình chiếu của I lên AB, AC, BC, (ABC).
Theo tính chất tiếp xúc, ta có R=IH=IK=IT.
Suy ra 3 tam giác vuông $\Delta IJH=\Delta IJK=\Delta IJT (c-g-c)$ do đó JH=JK=JT suy ra J là tâm đường tròn nội tiếp hoặc bàng tiếp tam giác ABC. Vậy có 4 điểm J như vậy và ta sẽ có 4 điểm I tương ứng là hình chiếu của I lên (P). Tức là có 4 mặt cầu thỏa mãn.
Câu 9: Cho hình phẳng (H) gồm nửa hình tròn đường kính AB và tam giác đều ABC như hình vẽ. Gọi $\Delta$ là đường thẳng qua C và song song với AB. Biết $AB=2 \sqrt{3} cm$. Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình (H) và trục $\Delta$.
A. $V=8 \sqrt{3}\pi +9 \pi^{2} cm^{3}$.
B. $V=8 \sqrt{3}\pi +\frac{9 \pi^{2}}{2} cm^{3}$.
C. $V=16 \sqrt{3}\pi +9 \pi^{2} cm^{3}$.
D. $V=16 \sqrt{3}\pi +\frac{27 \pi^{2}}{2} cm^{3}$.
Giải: Đáp án C
Chọn $C\equiv 0, \Delta \equiv 0x$, khi đó ta có tọa độ $A(-\sqrt{3},3), B(\sqrt{3},3)$ và phương trình đường tròn đường kính AB là $x^{2}+(y-3)^{2}=3$ và AC: $y=-\sqrt{3}x$, AB: $y=\sqrt{3}x$.
Phần phía trên của nửa đường tròn có phương trình $y=3+\sqrt{3-x^{2}}.$
Vì tính đối xứng của hình vẽ nên $V=2 \pi \int_{-\sqrt{3}}^{0} |(3+\sqrt{3-x^{2}})^{2}-(-\sqrt{3}x)^{2}|dx=16 \sqrt{3} \pi +9 \pi^{2}.
Câu 21: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị của hàm số $y=f'(x)$ như hình vẽ
Chọn khẳng định đúng
A. $f(c)>f(b)>f(a)$.
B. $f(b)>f(c)>f(a)$.
C. $f(b)>f(a)>f(c)$.
D. $f(c)>f(a)>f(b)$.
Giải: Đáp án B
Chú ý theo định nghĩa tích phân và dựa vào đồ thị của hàm số, ta có diện tích của các hình phẳng:
$S_{1}=\int_{a}^{b}|f'(x)|dx=\int_{a}^{b}f'(x)dx=f(b)-f(a);$
$S_{2}=\int_{b}^{c}|f'(x)|dx=\int_{b}^{c}-f'(x)dx=f(b)-f(c);$
$S_{1}>S_{2}>0\Rightarrow f(b)>f(c)>f(a)$.