Bài Làm:
Câu 6: Cho đồ thị hàm số $y=x^{3}-3x$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
- Tồn tại hình chữ nhật có bốn đỉnh thuộc đồ thị hàm số trên.
- Không tìm được độ dài lớn nhất của đoạn OA với O là gốc tọa độ còn A là điểm di động trên đồ thị.
- Đường thẳng y=2 tiếp xúc với đồ thị hàm sô.
A. Khẳng định 2, 3.
B. Khẳng định 1,2, 3.
C. Khẳng định 3.
D. Khẳng định 2.
Giải: Đáp án B
Khẳng định 2 và 3 là đúng, chúng ta dễ dàng kiểm tra được tính đúng đắn của nó. Còn khẳng định 1 là một câu hỏi khá lạ đối với học sinh. Tuy nhiên, ta cần chú ý tính chất điểm uốn là tâm đối xứng và ta chỉ cần chú ý nếu tồn tại hai điểm cùng thuộc một bên điểm uốn mà cách đều điểm uốn thì bài toán được giải quyết.
Câu 26: Tính tích phân $I=\int_{-1}^{3}\min (3^{x},2x^{2}+1)dx$
A. $\frac{80}{3 \ln 3}$.
B. $\frac{46}{3}+\frac{20}{3 \ln 3}$.
C. $\frac{68}{3}$.
D. $\frac{46}{3}-\frac{20}{3 \ln 3}$.
Giải: Đáp án B.
Giải phương trình $3^{x}=2x^{2}+1$ ta được $x=0,x=1,x=2$.
Do đó ta có
$I=\int_{-1}^{3}\min(3^{x},2x^{2}+1)dx=\int_{-1}^{0}3^{x}dx+\int_{0}^{1}(2x^{2}+1)dx+\int_{1}^{2}3^{x}dx+\int_{2}^{3}(2x^{2}+1)dx$
$=\left.\begin{matrix}\frac{3^{x}}{\ln 3}\end{matrix}\right|_{-1}^{0}+\left.\begin{matrix} (\frac{2}{3}x^{3}+x)\end{matrix}\right|_{0}^{1}+\left.\begin{matrix}\frac{3^{x}}{\ln 3}\end{matrix}\right|_{1}^{2}+\left.\begin{matrix} (\frac{2}{3}x^{3}+x)\end{matrix}\right|_{2}^{3}=\frac{46}{3}+\frac{20}{3 \ln 3}$.
Nhận xét: Bài toán khó nhất ở bước giải phương trình để tìn giá trị nhỏ nhất trong mỗi khoảng giá trị.
Câu 27: Giải phương trình $\int_{0}^{x}(3t^{2}-2t+3)dt=x^{3}+2$.
A. $S=\left \{ 1;2 \right \}$.
B. $S=\left \{ 1;2;3 \right \}$.
C. $S=\emptyset$.
D. $S=\mathbb{R}$.
Giải: Đáp án A.
Ta có $\int_{0}^{x}(3t^{2}-2t+3)dt=x^{3}+2$
$\Leftrightarrow x^{3}-x^{2}+3x=x^{3}+2$
$\Leftrightarrow x^{2}-3x+2=0$
$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x=1\hfill \cr x=2 \hfill \cr} \right.$