Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) qua hai điểm M(1,8,0) và C(0,0,3) cắt các nửa trục dương Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho OG nhỏ nhất (G là trọng tâm của tam giác ABC) biết G(a, b, c). Tính P=a+b+c
A. 12.
B. 6.
C. 7.
D. 3
Bài Làm:
Đáp án B
Gọi A(m,0,0), B(0,n,0) (Đk: m, n>0)
$\Rightarrow$ Trọng tâm của tam giác ABC có tọa độ $G(\frac{m}{3}, \frac{n}{3},1)$
Vì mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(m,0,0), B(0,n,0), C(0,0,3) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng $\frac{x}{m}+\frac{y}{n}+\frac{z}{3}=1$.
Mà $M \in (P)$ suy ra $\frac{1}{m}+\frac{8}{n}=1\Rightarrow \frac{1}{m}=\frac{n-8}{n}\Rightarrow m=\frac{n}{n-8}>0\Rightarrow n>8$.
Ta có $OG=\sqrt{(\frac{m}{3})^{2}+(\frac{n}{3})^{2}+\frac{1}{9}}=\sqrt{(\frac{n}{3})^{2}+(\frac{n}{3(n-8)})^{2}+\frac{1}{9}}$.
Xét hàm số $f(x)=x^{2}+\frac{x^{2}}{(x-8)^{2}} (x>8) \Rightarrow f'(x)=2x(1-\frac{8}{(x-3)^{2}})=0\Rightarrow x=10$
Như vậy OG min khi n=10, m=5 tọa độ $G(\frac{10}{3},\frac{5}{3},1)\Rightarrow a+b+c=6$.
