Bài tập 7. Cho tam giác ABC có trọng tâm G và độ dài ba cạnh AB; BC; CA lần lượt là 15, 18, 27.
a. Tính diện tích và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
b. Tính diện tích tam giác GBC.
Bài Làm:
a. Ta có: p = $\frac{1}{2}$.(15 + 18 + 27) = 30
Áp dụng công thức Heron, ta có:
S = $\sqrt{p(p - a)(p - b)(b - c)}$ = $\sqrt{30(30 - 18)(30 - 27)(30 - 15)}$ = $90\sqrt{2}$
Lại có: S = p.r $\Rightarrow$ r = $\frac{S}{p}$ = $\frac{90\sqrt{2}}{30}$ = $3\sqrt{2}$
b.
Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh A, I là chân đường vuông góc hạ từ đỉnh G, đường trung tuyến AD.
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\frac{GD}{AD}$ = $\frac{1}{3}$
Xét tam giác ADH vuông tại H có GI // AH (vì cùng vuông góc với BC) có:
$\frac{GI}{AH}$ = $\frac{GD}{AD}$ = $\frac{1}{3}$ (định lí Ta-lét trong tam giác) (1)
Ta có: $S_{ABC}$ = $\frac{1}{2}$. AH. BC (2)
$S_{GBC}$ = $\frac{1}{2}$. GI. BC (3)
Từ (1), (2) và (3) $\Rightarrow$ $S_{GBC}$ = $\frac{1}{3}.S_{ABC}$ = $\frac{1}{3}. 90\sqrt{2}$ = $30\sqrt{2}$
Vậy $S_{GBC}$ = $30\sqrt{2}$
