CHƯƠNG V. VECTƠ
BÀI 3. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ
1. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ VÀ CÁC TÍNH CHẤT
HĐKP1:
+ |$\underset{a}{\rightarrow}$ + $\underset{a}{\rightarrow}$| = 2|$\underset{a}{\rightarrow}$|, vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$ + $\underset{a}{\rightarrow}$ cùng hướng với vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$
+ (-$\underset{a}{\rightarrow}$)+(-$\underset{a}{\rightarrow}$) = 2|-$\underset{a}{\rightarrow}$|, vectơ (-$\underset{a}{\rightarrow}$) + (-$\underset{a}{\rightarrow}$) ngược hướng với.
Kết luận:
Cho số k khác 0 và vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$ khác $\underset{0}{\rightarrow}$ . Tích của số k với vectơ, kí hiệu là k $\underset{a}{\rightarrow}$.
Vectơ k$\underset{a}{\rightarrow}$ cùng hướng với $\underset{a}{\rightarrow}$ nếu k > 0, ngược hướng với $\underset{a}{\rightarrow}$ nếu k>0, ngược hướng với $\underset{a}{\rightarrow}$ nếu k < 0 và có độ dài bằng |k|.|$\underset{a}{\rightarrow}$|.
Ta quy ước 0$\underset{a}{\rightarrow}$ = $\underset{0}{\rightarrow}$ và k$\underset{0}{\rightarrow}$ =$\underset{0}{\rightarrow}$.
Người ta còn gọi tích của một số với một vectơ là tích của một vectơ với một số.
Ví dụ 1: SGK-tr94
Kết luận:
Với hai vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$ và $\underset{b}{\rightarrow}$ bất kì, với mọi số thực h và k, ta có:
|
k.($\underset{a}{\rightarrow}$ + $\underset{b}{\rightarrow}$) = k$\underset{a}{\rightarrow}$ + k.$\underset{a}{\rightarrow}$ |
1.$\underset{a}{\rightarrow}$ =$\underset{a}{\rightarrow}$ |
|
(h+k).$\underset{a}{\rightarrow}$ = h $\underset{a}{\rightarrow}$ + h.$\underset{a}{\rightarrow}$ |
(-1). $\underset{a}{\rightarrow}$ = -$\underset{a}{\rightarrow}$ |
|
h.(k. $\underset{a}{\rightarrow}$)=(h.k).$\underset{a}{\rightarrow}$ |
Ví dụ 2: SGK-tr95
Ví dụ 3: SGK-tr95
Thực hành 1.
a)
b) |3$\underset{b}{\rightarrow}$| = |-3$\underset{b}{\rightarrow}$| = 3$\sqrt{2}$
Ta có: |2$\underset{a}{\rightarrow}$+ 2$\underset{b}{\rightarrow}$| = 2|$\underset{a}{\rightarrow}$+ $\underset{b}{\rightarrow}$|= 2|$\underset{a'}{\rightarrow}$+ $\underset{b}{\rightarrow}$|
= 2$\sqrt{2^{2}+(\sqrt{2})^{2}+2.2.\sqrt{2}.cos45^{\circ}}$=$\sqrt{10}$
Thực hành 2.
G là trọng tâm tam giác ABC
<=> $\underset{GA}{\rightarrow}$ + $\underset{GB}{\rightarrow}$ + $\underset{GC}{\rightarrow}$ = $\underset{0}{\rightarrow}$
$\underset{MA}{\rightarrow}$- $\underset{MG}{\rightarrow}$ + $\underset{MB}{\rightarrow}$ - $\underset{MG}{\rightarrow}$ + $\underset{MC}{\rightarrow}$ - $\underset{MG}{\rightarrow}$ = $\underset{0}{\rightarrow}$
$\underset{MA}{\rightarrow}$+ $\underset{MB}{\rightarrow}$ + $\underset{MC}{\rightarrow}$ - 3$\underset{MG}{\rightarrow}$ = $\underset{0}{\rightarrow}$
$\underset{MA}{\rightarrow}$ + $\underset{MB}{\rightarrow}$ + $\underset{MC}{\rightarrow}$ = 3$\underset{MG}{\rightarrow}$ (đpcm)
Vận dụng.
$\underset{b}{\rightarrow}$ = -$\frac{5}{2} \underset{a}{\rightarrow}$
2. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG
HĐKP 2:
Hai vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$ và $\underset{c}{\rightarrow}$ cùng hướng với nhau.
⇒ Kết luận:
Hai vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$ và $\underset{b}{\rightarrow}$ ($\underset{b}{\rightarrow} \neq \underset{0}{\rightarrow}$) cùng phương khi và chỉ khi có số k sao cho $\underset{a}{\rightarrow}$=k$\underset{b}{\rightarrow}$
Nhận xét:
Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để $\underset{AB}{\rightarrow}$=k$\underset{AC}{\rightarrow}$.
Ví dụ 4: SGK – tr96
* Chú ý:
Cho hai vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$ và $\underset{b}{\rightarrow}$ không cùng phương. Với mỗi vectơ $\underset{c}{\rightarrow}$ luôn tồn tại duy nhất cặp số thực (m;n) sao cho $\underset{c}{\rightarrow}$=m.$\underset{a}{\rightarrow}$+n.$\underset{b}{\rightarrow}$
Thực hành 3.
Ta có: $\underset{GA}{\rightarrow}$ + $\underset{GB}{\rightarrow}$ + $\underset{GC}{\rightarrow}$ + $\underset{GD}{\rightarrow}$ = $\underset{0}{\rightarrow}$
$\underset{IA}{\rightarrow}$ - $\underset{IG}{\rightarrow}$ + $\underset{IB}{\rightarrow}$ - $\underset{IG}{\rightarrow}$ + $\underset{JC}{\rightarrow}$ - $\underset{JG}{\rightarrow}$ + $\underset{JD}{\rightarrow}$- $\underset{JG}{\rightarrow}$ = $\underset{0}{\rightarrow}$
($\underset{IA}{\rightarrow}$ + $\underset{IB}{\rightarrow}$) - 2$\underset{IG}{\rightarrow}$ + ($\underset{JC}{\rightarrow}$ + $\underset{JD}{\rightarrow}$) - 2$\underset{JG}{\rightarrow}$ = $\underset{0}{\rightarrow}$
$\underset{0}{\rightarrow}$ - 2$\underset{IG}{\rightarrow}$ + $\underset{0}{\rightarrow}$ - 2$\underset{JG}{\rightarrow}$ = $\underset{0}{\rightarrow}$ ( vì I, J là trung điểm của AB, DC)
$\underset{IG}{\rightarrow}$ = - JG
Ba điểm I, J, G thẳng hàng (đpcm).