5. Cho tam giác ABC có $\widehat{A}=90^{0}$, đường cao AH. Kẻ HM $\perp $ AB tại M, HN $\perp $ AC tại N. Chứng minh:
a, AM.AB = AN.AC = HB.HC
b, AM.AB + AN.AC = 2.MN$^{2}$
c, $\frac{AB^{3}}{AC^{3}}=\frac{BM}{CN}$
d, AM.BM + AN.CN = AH$^{2}$
e, HM.AB + HN.AC = AB.AC
f, $\frac{1}{HM^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}+\frac{1}{BH^{2}}$
g, MN$^{3}$ = BC.BM.CN
Bài Làm:
a,
- Xét tam giác ABC vuông tại A, có AH là đường cao.
Áp dụng hệ thức gữa đường cao ứng với cạnh huyền và các hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền, ta có:
AH$^{2}$ = HB.HC (1)
- Xét tam giác AHB vuông tại H, có HM là đường cao.
Áp dụng hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền, ta có:
AH$^{2}$ = AM.AB (2)
- Xét tam giác AHC vuông tại H, có HN là đường cao.
Áp dụng hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền, ta có:
AH$^{2}$ = AN.AC (3)
Từ (1); (2) và (3) => AM.AB = AN.AC = HB.HC
b, Tứ giác ANHM là hình chữ nhật => MN = AH
Ta có: AH$^{2}$ = AM.AB và AH$^{2}$ = AN.AC (từ phần a)
=> AM.AB + AN.AC = 2AH$^{2}$ = 2MN$^{2}$ (Vì MN = AH)
c, + Xét tam giác HAB vuông tại H có HN là đường cao
=> BH$^{2}$ = BM.AB
+ Xét tam giác HAC vuông tại H có HM là đường ca => CH$^{2}$ = CN.AC
+ Xét tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao =>
- AB$^{2}$ = BH.BC
- AC$^{2}$ = CH.BC
=> $\frac{AB^{2}}{AC^{2}}= \frac{BH}{CH}$
<=> AB$^{2}$.CH = AC$^{2}$.BH
<=> AB$^{4}$.CH$^{2}$ = AC$^{4}$.BH$^{2}$
<=> AB$^{4}$.CN.AC = AC$^{4}$.BM.AB
<=> AB$^{3}$.CN = AC$^{3}$.BM
<=> $\frac{AB^{3}}{AC^{3}}=\frac{BM}{CN}$ (đpcm)
d, Xét tam giác AHB vuông tại H có HM là đường cao
=> $HM^{2}=AM.BM$ (hệ thức gữa đường cao ứng với cạnh huyền và các hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền)
- Tương tự với tam giác vuông AHC có: $HN^{2}=AN.CN$
=> AM.BM + AN.CN = $HM^{2}+HN^{2}$
Mà $HM^{2}+HN^{2}=MN^{2}=AH^{2}$ (vì AH = MN và áp dụng định lí Py-ta-go cho tam giác vuông MHN).
=> AM.BM + AN.CN = $AH^{2}$
e, HM.AB = AH.HB (hệ thức giữa cạnh huyền, đường cao ứng với cạnh huyền và hai góc vuông trong tam giác vuông AHB có HM là đường cao)
HN.AC = AH.HC (hệ thức giữa cạnh huyền, đường cao ứng với cạnh huyền và hai góc vuông trong tam giác vuông AHC có HN là đường cao)
=> HM.AB + HN.AC = AH.HB + AH.HC = AH.(HB + HC) = AH.BC
f, $\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}$ (hệ thức giữa đường cao ứng với cạnh huyền và hai cạnh góc vuông trong tam giác vuông ABC có AH là đường cao)
$\frac{1}{HM^{2}}=\frac{1}{AH^{2}}+\frac{1}{BH^{2}}$ (hệ thức giữa đường cao ứng với cạnh huyền và hai cạnh góc vuông trong tam giác vuông AHB có HM là đường cao)
=> $\frac{1}{HM^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}+\frac{1}{BH^{2}}$
e, HB$^{2}$ = AB.MB => AB = $\frac{HB^{2}}{MB}$
HC$^{2}$ = AC.NC => AC = $\frac{HC^{2}}{NC}$
AB.AC = AH.BC => $\frac{HB^{2}}{MB}$.$\frac{HC^{2}}{NC}$ = AH.BC
=> HB$^{2}$.HC$^{2}$ = AH.BC.MB.CN
Mà AH$^{2}$ = HB.HC <=> AH$^{4}$ = HB$^{2}$.HC$^{2}$
=> AH$^{4}$ = AH.BC.MB.CN => AH$^{3}$ = BC.MB.CN
