2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Mỗi hình vẽ sau cho biết độ dài của hai trong 6 đoạn AB, AC, BC, HA, HB, HC (hình 1.7). Em hãy tìm độ dài các đoạn thẳng còn lại trong từng hình. Dựa vào cách trình bày của bài 1a, hình trình bày lời giải của em.
Bài Làm:
a, AC = 4; BC = 5
* BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ (định lí Py-ta-go)
=> AB$^{2}$ = BC$^{2}$ - AC$^{2}$ = 5$^{2}$ - 4$^{2}$ = 9
=> AB = 3
* AC$^{2}$ = HC.BC (hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền)
=> HC = $\frac{AC^{2}}{BC}=\frac{4^{2}}{5}=3,2$
* HB = BC - HC = 5 - 3,2 = 1,8
* AB.AC = AH.BC (hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông).
=> 3.4 = AH.5 => AH = 2,4
b, AH = 12; BH = 9
* AB$^{2}$ = AH$^{2}$ + HB$^{2}$ (định lí Py-ta-go)
=> AB$^{2}$ = 12$^{2}$ + 9$^{2}$ = 225
=> AB = 15
* AB$^{2}$ = BH.BC (hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền)
=> 15$^{2}$ = 9.BC => BC = 25
* HC = BC - HB = 25 - 9 = 16
* AC$^{2}$ = CH.BC (hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền)
=> AC$^{2}$ = 16.25 = 400
=> AC = 20
c, BH = 9; HC = 16
* BC = BH + HC = 9 + 16 = 25
* AB$^{2}$ = BH.BC (hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền)
=> AB$^{2}$ = 9.25 = 225 => AB = 15
* AC$^{2}$ = CH.BC (hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền)
=> AC$^{2}$ = 16.25 = 400
=> AC = 20
* AH.BC = AB.AC (hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông)
=> AH.25 = 15.20 = 300 => AH = 12
d, AH = 24 ; AC = 40
* AC$^{2}$ = AH$^{2}$ + HC$^{2}$ (định lí Py-ta-go)
=> HC$^{2}$ = AC$^{2}$ - AH$^{2}$ = 40$^{2}$ - 24$^{2}$ = 1024
=> HC = 32
* $\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}$ (hệ thức giữa đường cao ứng với cạnh huyền và hai cạnh góc vuông)
=> $\frac{1}{24^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{40^{2}}$
=> AB = 30
* BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ (định lí Py-ta-go)
=> BC$^{2}$ = 30$^{2}$ + 40$^{2}$ = 2500
=> BC = 50
* HB = BC - HC = 50 - 32 = 18
e, AB = 13; BH = 5
* AB$^{2}$ = AH$^{2}$ + HB$^{2}$ (định lí Py-ta-go)
=> AH$^{2}$ = AB$^{2}$ - HB$^{2}$ = 13$^{2}$ - 5$^{2}$ = 144
=> HC = 12
* $\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}$ (hệ thức giữa đường cao ứng với cạnh huyền và hai cạnh góc vuông)
=> $\frac{1}{12^{2}}=\frac{1}{AC^{2}}+\frac{1}{13^{2}}$
=> AC = 31,2
* BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ (định lí Py-ta-go)
=> BC$^{2}$ = 13$^{2}$ + 31,2$^{2}$ = 1142,44
=> BC = 33,8
* HC = BC - HB = 33,8 - 5 = 28,8
f, AC = 30; BH = 32
Đặt HC = x
* BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ (định lí Py-ta-go)
=> AB$^{2}$ = BC$^{2}$ - AC$^{2}$
=> AB$^{2}$ = (BH + HC)$^{2}$ - AC$^{2}$
=> AB$^{2}$ = (32 + x)$^{2}$ - 30$^{2}$ (1)
* AB$^{2}$ = HB.BC (hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền)
=> AB$^{2}$ = HB.(HB + HC)
=> AB$^{2}$ = 32.(32 + x) (2)
Từ (1) và (2) ta có:
(32 + x)$^{2}$ - 30$^{2}$ = 32.(32 + x)
<=> x$^{2}$ +32x - 30$^{2}$ = 0
<=> x = 18 hoặc x = -50 (loại)
=> HC = 18; BC = HB + HC = 32 + 18 = 50
AB$^{2}$ = 32.(32 + x) = 32.(32 + 18) = 1600 => AB = 40
* AH.BC = AB.AC (hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông)
=> AH.50 = 40.30 = 1200
=> AH = 24
